מחלק אפס – הבדלי גרסאות

ב[[אלגברה]], איברי [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] <math>a,b</math> נקראים '''מחלקי אפס''' אם מכפלתם היא אפס. איבר <math>\ a \neq 0</math> נקרא '''מחלק אפס שמאלי''' אם קיים <math>\ b \neq 0</math> כך ש- <math>\ ab = 0</math>, ובדומה לזה <math>b</math> הוא '''מחלק אפס ימני'''. ב[[חוג קומוטטיבי]], מושגים אלו מתלכדים. חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא [[תחום (מבנה אלגברי)|תחום]], ותחום קומוטטיבי נקרא [[תחום שלמות]]. לדוגמה, ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] אין מחלקי אפס.

1. נביט בחוג ה[[מטריצה|מטריצות]] מסדר <math>\ 2\times 2</math> מעל [[שדה המספרים הרציונליים|המספרים הרציונליים]]. מכיוון ש- <math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math>, נקבל ש-<math>\begin{bmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math> הוא מחלק אפס שמאלי ו-<math>\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix}</math> היא מחלק אפס ימני. באופן כללי, מטריצה מעל שדה היא מחלק אפס (ימני ושמאלי) אם ורק אם היא אינה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].

2. כל [[אידמפוטנט]] <math>e</math> שאינו איבר היחידה של החוג הוא מחלק אפס. (אכן, לפי ההנחה קיים <math>x</math> בחוג כך ש-<math>\ ex-x \neq 0</math>, ואז <math>\ e(ex-x)=ex-ex=0</math>). בפרט איבר יחידה של תת-חוג, שאינו איבר יחידה של החוג כולו, הוא מחלק אפס.