משפט לגראנז' (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת פרק קישורים חיצוניים + תבנית:MathWorld (בערכים בהם אין קישורים חיצוניים) (תג) (דיון) |
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
||
שורה 1:
'''משפט לגראנז'''' הוא אחד המשפטים היסודיים ב[[תורת החבורות]] הסופיות. המשפט קובע שאם <math>\ G</math> [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] סופית ו-<math>\ H\subseteq G</math> [[חבורה (מבנה אלגברי)#תת חבורה|תת חבורה]] שלה, אז ה[[סדר של חבורה|סדר]] של <math>\ H</math> [[מחלק]] את הסדר של <math>\ G</math>, כלומר <math>\ \frac{|G|}{|H|}</math> הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם [[ז'וזף לואי לגראנז']].
מן המשפט אפשר מיד להסיק שה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון ש[[חבורה ציקלית|החבורה הנוצרת]] על ידי <math>x</math> היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של <math>x</math>). במלים אחרות, אם <math>\ G</math> חבורה סופית אז <math>\ g^{|G|}=e</math> לכל <math>\ g\in G</math>. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית ל[[משפט אוילר]].
אם <math>\ G</math> [[חבורה אבלית]], אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את <math>\ |G|</math>. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_4</math>, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.
לגראנז' פרסם את המשפט ב-[[1770]], בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של <math>n</math> משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את <math>\ n!</math>. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה [[פונקציה סימטרית|סימטרית]] ביחס אליהן) היא תת-חבורה <math>H</math> של [[החבורה הסימטרית]] של <math>n</math> משתנים (הכוללת <math>n!</math> איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה ל[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] של <math>H</math> בחבורה הסימטרית, <math>n!/|H|</math>.
==הוכחת המשפט==
שורה 12:
לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות <math>\, aH</math> זרות זו לזו. אכן, אם <math>\ x \in aH</math> אז <math> xH \subseteq aHH = aH</math>, ומאידך אפשר לכתוב <math> x = ah</math> עבור <math>\ h\in H</math>, ולכן גם <math> a = x h^{-1} \in xH</math>, כך ש-<math> aH \sub xH</math> ולכן <math> xH=aH</math>. כעת, אם <math> aH \cap bH \neq \emptyset</math>, אז יש <math> x\in aH, bH</math> ולכן <math> aH = xH = bH</math>.
כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של <math>\ H</math> שווה לסדר <math>\ H</math>. לשם כך נבנה התאמה [[חד-חד ערכית]] מ-<math>\ H</math> [[התאמה על|על]] מחלקה <math>\ aH</math> כלשהי שלה.
ההתאמה <math>\ f:H\rarr aH</math> תיבנה כך: <math>\ f(h)=ah</math>.
שורה 24:
כעת, לכל איבר ב-<math>\ G</math> ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של <math>\ H</math>. לכן מספר האיברים ב-<math>\ G</math> הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של <math>\ H</math>. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב-<math>\ G</math>. יהי <math>\ k</math> מספר המחלקות, אז <math>\ k\cdot |H|=|G|</math>, כלומר סדר <math>\ H</math> מחלק את סדר <math>\ G</math> ובכתיב מתמטי <math>\ |H| | |G|</math>, כפי שהיה להוכיח.
==קישורים חיצוניים==
| |||