דטרמיננטה – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: צוי\1
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 2:
ב[[אלגברה ליניארית]], ה'''דֵּטֶרְמִינַנְטָה''' של [[מטריצה ריבועית]], היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס [[אם ורק אם]] המטריצה אינה [[מטריצה הפיכה|הפיכה]].{{הערה|בדיקת ערך הדטרמיננטה של המטריצה של העתקה ליניארית, היא שיטה [[אלגוריתם|אלגוריתמית]] לוודא האם העתקה הפיכה.}} יתרה מזו, כאשר הדטרמיננטה של מקדמי [[מערכת משוואות ליניאריות]] שונה מאפס, [[נוסחת קרמר]] מחשבת ממנה ומהדטרמיננטה של מטריצה קרובה, את הפתרון היחיד של המערכת. את הדטרמיננטה מסמנים ב-<math>|A|</math> או <math>\det(A)</math>.
 
הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית (כלומר, <math>\det(AB) = \det(A)\det(B)</math>), שיש לה גם משמעות גאומטרית: אם <math>A</math> היא [[מטריצה ריבועית]] בעלת מקדמים [[מספר ממשי|ממשיים]], אז הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו (המכוון) של ה[[מקבילון]] (ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] ה- <math>n</math>-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה (ראו איור).
 
== היסטוריה ==
שורה 16:
[[ז'וזף לואי לגראנז'|לגראנז']] הציג את הפירוש של דטרמיננטה (מסדר <math>3\times 3</math>) כאלמנט נפח, במאמר מ-[[1773]] שעסק במכניקה. המונח '''דטרמיננטה''' מוצג לראשונה בספרו של [[קרל פרידריך גאוס|גאוס]] על תורת המספרים; גאוס קרא לה כך משום שהיא קובעת (determines) את התכונות של ה[[תבנית ריבועית|תבניות הריבועיות]] שאותן חקר. עם זאת, הדטרמיננטה של גאוס אינה זהה להגדרה המקובלת היום. זו הופיעה בשם זה רק ב-[[1812]], בעבודתו של [[אוגוסטן לואי קושי|קושי]], שהוכיח לראשונה את הכלל החשוב <math>\det(AB) = \det(A) \det(B)</math>.
 
הנושא הבשיל בשלושה מאמרים שפרסם [[קרל גוסטב יעקב יעקובי|יעקובי]] ב- [[1841]], בהם הוא הגדיר את הדטרמיננטה עבור מטריצה כללית ובאופן אלגוריתמי, שסייע לתפוצה הרחבה של הרעיון. את הסימון <math>\ |A|</math> עבור הדטרמיננטה של <math>A</math> הציע [[ארתור קיילי]] באותה שנה.
 
ב-[[1896]] מיין [[פרדיננד פרובניוס]] את ההעתקות הליניאריות <math>T \,{:}\, \operatorname{M}_n(F) \rightarrow \operatorname{M}_n(F)</math> השומרות על הדטרמיננטה (במובן ש-<math>\det(T(X))=\det(X)</math> לכל מטריצה <math>X</math>), והראה שכולן מהצורה <math>T(X) = AXB</math> או <math>T(X) = AX^{\operatorname{tr}}B</math>.
 
הגדרה "[[אקסיומה|אקסיומטית]]", של הדטרמיננטה, כתבנית (היחידה) שהיא מולטי-ליניארית, אנטי-סימטרית ומנורמלת התגלתה על ידי [[קארל ויירשטראס]], והתפרסמה ב-[[1903]], לאחר מותו.
שורה 27:
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) A_{1,\sigma(1)}A_{2,\sigma(2)}\cdots A_{n,\sigma(n)}</math>.
 
הסכום בנוסחה הוא על <math>\ n!</math> [[תמורה (מתמטיקה)|התמורות]] <math>\sigma</math> האפשריות של המספרים <math>\left\{1,2,\dots,n\right\}</math>. ה[[זוגיות של תמורה|סימן]] <math>\operatorname{sgn}(\sigma)</math> מתקבל על פי זוגיות התמורה. אם התמורה זוגית, <math> \operatorname{sgn}(\sigma)=1</math>, אם היא אי זוגית, <math>\operatorname{sgn}(\sigma)=-1</math>. הדטרמיננטה שווה, אם כך, לסכום של כל המכפלות האפשריות לאורך אלכסונים מוכללים של המטריצה, עם סימנים מתחלפים.
 
לדטרמיננטה יש גם הגדרה אקסיומטית: אפשר לראות את הפונקציה <math>\ A \mapsto \det(A)</math> כפונקציה של <math>n</math> העמודות של המטריצה, ואז זוהי הפונקציה היחידה שהיא ליניארית בכל המשתנים, מתחלפת (כלומר מחזירה 0 עבור מטריצה שיש בה שתי שורות זהות), ומנורמלת כך ש-<math>\ \det(I)=1</math> כאשר <math>I</math> היא מטריצת היחידה. בלשון מודרנית, הגדרה זו שקולה לכך שפעולתה של [[העתקה ליניארית|טרנספורמציה ליניארית]] מממד <math>n</math> על [[מכפלת יתד|מכפלת היתד]] <math>V^{\wedge n}</math> של המרחב <math>V</math> (שהיא מרחב חד-ממדי) היא כפל בסקלר השווה לדטרמיננטה.
 
== דוגמאות ==
=== מטריצות 2X2 ===
במקרה של מטריצה 2X2<math>2\times 2</math>, נוסחת הדטרמיננטה היא:
:<math>\begin{vmatrix} a & b\\c & d \end{vmatrix}=ad - bc\ </math>
בפרט מתקיים:
שורה 47:
=== דירוג המטריצה ===
 
הפיתוח לפי ההגדרה המפורשת דורש כ- <math>\ n\cdot n!</math> פעולות בשדה. לעומת שיטות אלה, שיטת הדירוג של גאוס מאפשרת לחשב את הדטרמיננטה בכ- <math>n^3</math> פעולות, על ידי [[דירוג מטריצות|דירוג המטריצה]] עד שמגיעים ל[[מטריצה משולשית]]: הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה.
 
הדירוג נעשה על ידי הפעלת פעולות אלמנטריות בשרשרת, ואלו משפיעות על הדטרמיננטה באופן הבא:
שורה 56:
=== פיתוח לפי מינורים ===
 
את הדטרמיננטה אפשר לחשב בצורה [[רקורסיה|רקורסיבית]], הנקראת '''פיתוח לפי מינורים'''. הדטרמיננטה של מטריצה בגודל <math>1\times 1</math> הוא האיבר היחיד שלה. כעת נראה כיצד ניתן לחשב דטרמיננטה מסדר <math>n\times n</math> כאשר <math>n\geq 2</math>. ה[[מינור (אלגברה ליניארית)|מינור]] של איבר במטריצה <math>A</math> הוא הדטרמיננטה של המטריצה המתקבלת על ידי מחיקת השורה והעמודה של אותו איבר מהמטריצה, כך שמתקבלת מטריצה בגודל <math>(n-1)\times (n-1)</math> (את הדטרמיננטה הזו, של מטריצה קטנה יותר, אנו כבר יודעים לחשב). נסמן את המינור המתקבל ממחיקת הרכיב <math>A_{ij}</math> (שהוא הרכיב ה-<math>(i,j)</math> של המטריצה) ב-<math>A^{ij}</math>. הדטרמיננטה ניתנת כעת לחישוב בצורה <math>\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math> -- זהו '''פיתוח לפי השורה ה-<math>i</math>'''. פיתוח לפי העמודה ה-<math>j</math> מתקבל מנוסחה דומה: <math>\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}A_{ij}A^{ij}</math>.
 
לדוגמה, הפיתוח לפי השורה הראשונה של מטריצה מסדר <math>3\times 3</math> נותן את הנוסחה
שורה 75:
 
=== נוסחאות חשובות ===
<math>|tA| = t^n|A|</math>, <math>t</math> סקלר בשדה ממנו לקוחים איברי <math>A</math> ו<math>n</math> הוא סדר המטריצה של <math>A</math>
 
* <math>|tA| = t^n|A|</math>, כאשר <math>t</math> סקלר בשדה ממנו לקוחים איברי <math>A</math> ו-<math>n</math> הוא סדר המטריצה של <math>A</math>.
* <math>|A\cdot B| = |A|\cdot|B|</math>.
 
* <math>|adj(A)| = |A|^{n-1}</math> כאשר <math>adj(A)</math> היא [[מטריצה מצורפת|המטריצה המצורפת]] של <math>A</math>.
* <math>|A^t| = |A|</math>, כאשר <math>A^t</math> היא [[מטריצה משוחלפת|המטריצה המשוחלפת]] של <math>A</math>.
 
* <math>|A^t| = |A|0</math>, כאשראם <math>A^t</math> היא [[מטריצה משוחלפת|המטריצה המשוחלפת]]שאינה הפיכה.
* <math>|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}</math>, אם <math>A</math> [[מטריצה הפיכה]].
 
<math>|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}</math>, אם <math>A</math> [[מטריצה הפיכה]]
 
== הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה ==
ניתן לראות בדטרמיננטה פונקציה של איברי המטריצה שערכה מבטא את פקטור ההגדלה ה[[נפח]]ית של [[טרנספורמציה ליניארית|הטרנספורמציה הליניארית]] המיוצגת על ידי המטריצה.
[[קובץ:Area parallellogram as determinant.svg|שמאל|200px|ממוזער|[[שטח]] ה[[מקבילית]] באיור הוא הדטרמיננטה של המטריצה המיוצגת על ידי וקטורי צלעות המקבילית. טרנספורמציות גזירה אינן משנות את [[גובה (גאומטריה)|גובה]] המקבילית ולכן גם לא משנות את שטחה; לעומת זאת, כפל שורה בסקלר מגדיל את אחת מצלעות המקבילית ולכן משנה את שטחה.]]
בצורה פורמלית, אם ''<math>A</math>'' היא מטריצה ממשית מסדר ''<math>n''\times × ''n''</math>, אז כפל המטריצה בוקטורי [[הבסיס הסטנדרטי]] של המרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math> יתן את וקטורי העמודה של המטריצה:
:<math>A\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\mathbf{a}_1, \quad A\begin{pmatrix}0\\1\\ \vdots \\0\end{pmatrix}=\mathbf{a}_2, \ldots, \quad A\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\mathbf{a}_n.
</math>
 
פירוש הדבר הוא שהטרנספורמציה המיוצגת על ידי <math>A</math> מעתיקה את [[היפרקובייה|קוביית היחידה ה-n ממדית]] ל[[מקבילון]] ה-''<math>n</math>'' ממדי שקואורדינטות קודקודיו מיוצגות על ידי וקטורי העמודה של המטריצה <math>\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_n</math>, ואשר הפנים שלו מוגדר על ידי התחום: <math>P = \{ c_1 \mathbf{a}_1 +\cdots+c_n\mathbf{a}_n \mid 0 \leq c_i\leq 1 \ \forall i \}.</math>. הדטרמיננטה תתן את הנפח [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|המכוון]] של המקבילון הזה, כלומר <math>\det(A) = \pm \text{vol}(P)</math> (הסימן מראה האם הטרנספורמציה הליניארית משמרת או הופכת את [[אוריינטציה (אלגברה ליניארית)|אוריינטציית]] המקבילון{{הערה|[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] למשל, בשונה מסיבובים, אינם משמרים אוריינטציה של המקבילון.}}).
 
ניתן להיווכח בכך שהדטרמיננטה מקיימת את כל התכונות הנדרשות מפונקציית נפח - שכן פעולות אלמנטריות משנות את הדטרמיננטה באופן זהה לשינוי שהן גורמות לנפח המקבילון. הפעולה האלמנטרית של כפל שורה בסקלר <math>\lambda</math> שקולה להארכת אחת מ[[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות המקבילון פי אותו פקטור; הפעולה מגדילה את שטח ה[[פאה (גאומטריה)|פאה]] המכילה את הצלע באותו פקטור, ובאופן רקורסיבי פועלת כמתיחה בפקטור <math>\lambda</math> על פנים המקבילון, באנלוגיה להליך חישוב הדטרמיננטה לפי [[מינור (אלגברה ליניארית)|מינור]]ים. הוספת כפולה של שורה לשורה אחרת ניתנת לייצוג על ידי כפל ב[[מטריצה אלמנטרית]] השקולה ל[[מאמץ גזירה|העתקת גזירה]], ולכן פועלת כטרנספורמציה אשר משנה את זוויות המקבילון אך אינה משפיעה על נפחו (ככל גזירה).
 
בדרך זו ניתן גם להבין את מושג ה[[מטריצה הפיכה|הפיכות]] של מטריצה בצורה שונה; מטריצה מסדר ''<math>n''\times × ''n''</math> בעלת דטרמיננטה אפס מעתיקה את קוביית היחידה ה-''<math>n</math>'' ממדית למקבילון בעל נפח 0 שאינו יכול להיות ''<math>n</math>''-ממדי, מה שמעיד על כך שממד ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של ''<math>A</math>'' נמוך מ-''<math>n</math>''. פירוש הדבר הוא ש-''<math>A</math>'' מייצגת טרנספורמציה ליניארית שאינה [[פונקציה על|על]] ואינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד ערכית]], ולכן אין לה מטריצה הופכית (אין [[פונקציה הפיכה|טרנספורמציה הופכית]] לטרנספורמציה שהיא מייצגת).
 
==הדטרמיננטה באנליזה וקטורית==
 
בשל הפירוש הגאומטרי של הדטרמיננטה שצוין לעיל, אם <math>\ S</math> קבוצה כלשהי במרחב הממשי <math>\ \mathbb{R}^n</math>, אז הנפח של <math>\ A\cdot S</math> שווה לנפח של <math>\ S</math> מוכפל בדטרמיננטה של <math>\ A</math> (עובדה המסבירה את הופעתו של ה[[יעקוביאן]] בחישובי [[אינטגרל רב-ממדי|אינטגרלים מרובים]]).
*באמצעות דטרמיננטה של מטריצה <math>3 על\times 3</math> אפשר לרשום ביטוי שקל לזכור ומקל לחשב את [[מכפלה וקטורית|המכפלה הווקטורית]] ב-<math>\mathbb{R}^3</math> באופן הבא:
*: <math>\vec A\times\vec B=
\begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
שורה 119 ⟵ 117:
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות]
* גדי אלכסנדרוביץ', [http://www.gadial.net/2011/11/10/determinants/ דטרמיננטות], בבלוג המתמטיבאתר "לא מדויק"
* סרטונים המדגימים חישוב דטרמיננטה: [http://www.bigsigma.com/demo/determinant-3x3-first-row פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ראשונה] ו[http://www.bigsigma.com/demo/determinant-3x3-sarrus-rule פיתוח דטרמיננטה לפי חוק סארוס]
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Determinant}}