ויקיפדיה

חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: אידיאל
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 5:
== הגדרה ==
 
[[תחום שלמות]] <math>D</math> הוא '''חוג אוקלידי''', אם קיימת פונקציה המחזירה [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], <math>\ d : D-\{0\}\rightarrow \mathbb{N}</math>, המקיימת את הדרישה <math>\ d(a)\leq d(ab)</math> לכל <math>a</math> ו- <math>b</math>, וכן:
* לכל <math>\ a\in D</math> ולכל <math>\ 0\neq b \in D</math>, קיימים <math>\ q, r\in D</math> כך ש- <math>\ a=qb+r</math>, כאשר <math>\ r=0</math> או <math>\ d(r)<d(b)</math>.
במלים אחרות, אם <math>b</math> אינו מחלק את <math>a</math> באופן מדויק, אז אפשר לחלק עם שארית, כאשר "דרגת" השארית (הערך של הפונקציה <math>d</math> עבורה) קטנה מדרגת המחלק <math>b</math>. תכונה זו היא היסוד להוכחות ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] על הדרגה, והיא מאפשרת לבחור בקבוצה (לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]]) נתונה איבר שדרגתו הקטנה ביותר.
 
הדרישה <math>\ d(a)\leq d(ab)</math> איננה הכרחית, מכיוון שבהינתן פונקציה <math>d</math> המקיימת את הדרישה השנייה בלבד, אפשר להגדיר פונקציה חדשה <math>\ \delta(x)=\min_{y\in D - \{0\}}d(xy)</math>, והיא תקיים את שתי הדרישות גם יחד.
 
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת גם באיבר ה[[0 (מספר)|אפס]] של <math>D</math>, יש הקובעים <math>\ d(0)=0</math> (כאשר מובן שדרגתם של כל האיברים האחרים היא 1 לפחות).
 
== דוגמאות ==
 
* [[חוג המספרים השלמים]] <math>\ \mathbb{Z}</math> הוא אוקלידי, עם הפונקציה <math>\ d(x)=|x|</math> המחזירה עבור כל מספר את ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] שלו.
* [[חוג השלמים של גאוס]], <math>\ \mathbb{Z}[i]=\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\sqrt{-1}</math>, עם ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] <math>\ d(x+iy)=x^2+y^2</math>.
* חוג הפולינומים בעלי מקדמים בשדה, עם פונקציית ה[[מעלה של פולינום|מעלה]] המקובלת: <math>\ d(a_0+\dots+a_nx^n)=n</math> כל אימת שהמקדם המוביל <math>\ a_n \neq 0</math>.
 
== תכונות של חוג אוקלידי ==
 
הפונקציה האוקלידית <math>d</math> מאפשרת לזהות את האיברים ההפיכים של החוג (<math>u</math> הוא '''[[איבר הפיך]]''' אם קיים <math>v</math> כך שמכפלתם ש-<math>uv=1</math>). ראשית, הדרגה של 1 היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית (שהרי <math>\ d(1)\leq d(1b)=d(b)</math> לכל <math>b</math>). מתברר שהאברים ההפיכים בחוג הם בדיוק אלה שדרגתם שווה לדרגה של 1.
{{ניווט|רוחב=360px|יישור=שמאל|כותרת=הוכחה|תוכן=אם uv=1, אז <math>\ d(1)=d(uv)\geq d(u)\geq d(1)</math> ומכאן השוויון. מאידך, אם <math>\ d(u)</math> היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית, חילוק 1 ב- u מראה שלא יכולה להיות שארית; מכאן ש- u מחלק את 1, ואם כך u הפיך.|מוסתר=כן|הסתרה=כן}}▼
 
{{ניווט
'''משפט'''. כל חוג אוקלידי D הוא [[תחום אידיאלים ראשיים|ראשי]] (כלומר, כל [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] שלו הוא מן הצורה <math>\ Da=\{ba: b\in D\}</math>).▼
| רוחב = 360px
'''הוכחה'''. אם I אידיאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר a שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי I (כמובן, a אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש- <math>\ Da\subseteq I</math>. נניח שקיים ב- I איבר, למשל c, שאיננו מתחלק ב- a; חילוק עם שארית יתן <math>\ c=qa+r</math> כאשר <math>\ d(r)<d(a)</math>. אולם <math>\ r=c-qa\in I</math> הוא איבר של האידיאל, וזה סותר את בחירת a כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.<br />▼
| יישור = שמאל
'''מחלק משותף גדול ביותר''': ניקח שני איברים a,b בתחום האוקלידי, (a),(b) הם האידיאליים שהם יוצרים. הסכום שלהם - (a,b), הוא כמובן אידיאל, ומשום שתחום אוקלידי הוא תחום ראשי, הוא אידיאל ראשי, ולכן יש לו יוצר. היוצר הזה הוא מחלק המשותף הגדול ביותר. עם זאת, הוא איננו בהכרח המחלק המשותף היחיד, ייתכנו עוד כאלו, אבל אם x,y שניים כאלו, אז קיים u הפיך כך ש- x=uy, כלומר, הם נבדלים רק במכפלה בהפיך.▼
| כותרת = הוכחה
▲{{ניווט|רוחב=360px|יישור=שמאל|כותרת=הוכחה| תוכן = אם <math>uv=1</math>, אז <math>\ d(1)=d(uv)\geq d(u)\geq d(1)</math> ומכאן השוויון. מאידך, אם <math>\ d(u)</math> היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית, חילוק 1 ב- <math>u</math> מראה שלא יכולה להיות שארית; מכאן ש- <math>u</math> מחלק את 1, ואם כך <math>u</math> הפיך.|מוסתר=כן|הסתרה=כן}}
| מוסתר = כן
| הסתרה = כן
}}
 
▲'''משפט'''. כל חוג אוקלידי <math>D</math> הוא [[תחום אידיאלים ראשיים|ראשי]] (כלומר, כל [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] שלו הוא מן הצורה <math>\ Da=\{ba: b\in D\}</math>).
▲'''הוכחה'''. אם <math>I</math> אידיאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר <math>a</math> שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי <math>I</math> (כמובן, <math>a</math> אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש- <math>\ Da\subseteq I</math>. נניח שקיים ב- <math>I</math> איבר, למשל <math>c</math>, שאיננו מתחלק ב- <math>a</math>; חילוק עם שארית יתן <math>\ c=qa+r</math> כאשר <math>\ d(r)<d(a)</math>. אולם <math>\ r=c-qa\in I</math> הוא איבר של האידיאל, וזה סותר את בחירת <math>a</math> כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.<br />
▲'''מחלק משותף גדול ביותר''': ניקח שני איברים <math>a,b</math> בתחום האוקלידי, <math>(a),(b)</math> הם האידיאליים שהם יוצרים. הסכום שלהם - <math>(a,b)</math>, הוא כמובן אידיאל, ומשום שתחום אוקלידי הוא תחום ראשי, הוא אידיאל ראשי, ולכן יש לו יוצר. היוצר הזה הוא מחלק המשותף הגדול ביותר. עם זאת, הוא איננו בהכרח המחלק המשותף היחיד, ייתכנו עוד כאלו, אבל אם <math>x,y</math> שניים כאלו, אז קיים <math>u</math> הפיך כך ש- <math>x=uy</math>, כלומר, הם נבדלים רק במכפלה בהפיך.
 
== אוקלידיות ב[[תורת המספרים האלגברית]] ==
 
בחוגי מספרים, היינו תת-חוגים של [[שדה המספרים האלגבריים]], מוגדרת באופן טבעי [[נורמה (אלגברה)|נורמה]] <math>N</math>, שהיא פונקציה כפלית מן החוג אל המספרים השלמים. בספרים שעיקר עניינם בתורת המספרים, אוקלידיות של חוגים כאלה מוגדרת על-פי הדרישה שדווקא פונקציה זו תקיים את דרישות החילוק עם שארית שהובאו לעיל.
 
בין השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>, כאשר <math>D</math> מספר שלם חיובי, [[חוג שלמים|חוג השלמים]] הוא אוקלידי ביחס לנורמה רק עבור <math>\ D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73</math>. הדרישה שהחוג יהיה אוקלידי דווקא ביחס לנורמה הכפלית חזקה יותר מאוקלידיות סתם, והדוגמה הבולטת ביותר לכך היא החוג <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{14}]</math>, שאינו אוקלידי ביחס לפונקציית הנורמה, וב-[[2004]] הוברר שהוא אוקלידי
{{הערה|{{כ}}M. Harper, <math> \mathbb{Z}[\sqrt{14}]</math> is Euclidean, Canad. J. Math. 56(1), 55-70, (2004).}}
(ביחס לפונקציה אחרת, מסובכת בהרבה). עדיין לא ידוע מיון שלם של החוגים האוקלידיים ממשפחה זו.
 
את [[חוג שלמים|חוגי השלמים]] של שדות מספרים אפשר לסדר לפי הדרגה של [[חבורת יחידות של חוג|חבורת היחידות]] שלהם, שהיא סופית על-פי [[משפט היחידות של דיריכלה]]. חבורת יחידות סופית, בעלת דרגה 0, יש רק לחוגי השלמים של השדות הריבועיים <math>\ \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>, כאשר <math>D</math> מספר שלם שלילי. במקרה זה ידוע שיש תשעה חוגי שלמים [[תחום ראשי|ראשיים]]: <math>\ D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163</math>, שמהם רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים (הראשון ברשימה הוא [[חוג השלמים של גאוס]]), וכל אלה אוקלידיים על-פי הנורמה[http://planetmath.org/encyclopedia/QuadraticImaginaryEuclideanNumberFields.html].
 
על-פי ההשערה, בכל מקרה אחר (כלומר, כאשר חבורת היחידות מדרגה חיובית), החוג אוקלידי כל אימת שהוא ראשי. השערה זו נובעת מ[[השערת רימן המוכללת]]{{הערה|1={{כ}}P.J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic Number Theory, pp. 321-332, Amer. Math. Soc, 1973.}}, והיא נכונה גם ללא הנחה חזקה זו כאשר דרגת החבורה 4היא לפחות 4.{{הערה|1={{כ}}M. Harper and M. Ram Murty, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canad. J. Math. 56(1), 71-76, (2004).}}.
 
== קריטריונים לאוקלידיות ==
 
את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin{{הערה|1={{כ}}T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).}} בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג <math>R</math> קבוצות <math>\ R_n</math>, כאשר <math>\ R_0=\{0\}</math>, ואילו <math>\ R_n</math> היא קבוצת כל האיברים <math>a</math>, שעבורם לכל מחלקה ב[[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ R/Ra</math> יש נציג מן הקבוצה <math>\ R_{n-1}</math>. בפרט, <math>\ R_1-\{0\}</math> היא קבוצת האיברים ההפיכים של החוג. לפי Motzkin, חוג הוא אוקלידי אם ורק אם כל איבר שלו שייך לאחת הקבוצות בסדרה זו.
 
בדיקת האוקלידיות כאשר <math>d</math> פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות <math>R</math> הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית <math>d</math> אם ורק אם [[שדה שברים|שדה השברים]] <math>F</math> של <math>R</math> מכוסה כולו על ידי ה"כדורים" <math>\ B(a)=\{x\in F| d(x-a)<1\}</math> שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" <math>\ a\in R</math>. מקריטריון זה נובע שאם <math>R</math> אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג <math>\ R \subseteq R' \subseteq F</math> גם הוא אוקלידי.▼
 
▲בדיקת האוקלידיות כאשר d פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות R הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית d אם ורק אם [[שדה שברים|שדה השברים]] F של R מכוסה כולו על ידי ה"כדורים" <math>\ B(a)=\{x\in F| d(x-a)<1\}</math> שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" <math>\ a\in R</math>. מקריטריון זה נובע שאם R אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג <math>\ R \subseteq R' \subseteq F</math> גם הוא אוקלידי.
 
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חוג_אוקלידי"