משפט לינדמן-ויירשטראס – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], '''משפט לינדמן-ויירשטראס''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] מרכזי בחקר ה[[מספר טרנסצנדנטי|מספרים הטרנסצנדנטיים]]. המשפט קובע כי אם <math>\ \alpha_1,\ldots, \alpha_n</math> [[מספר אלגברי|מספרים אלגבריים]] [[תלות ליניארית|בלתי תלויים ליניארית]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>, אז <math>\ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}</math> [[אי תלות אלגברית|בלתי תלויים אלגברית]] מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>. בפרט, <math>\ e^\alpha</math> טרנסצנדנטי לכל <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאפס (<math>e</math> הוא [[e (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]]). המקרה הפרטי לבדו קרוי '''משפט לינדמן'''.

בניסוח שקול המשפט אומר שתחת התנאים המצוינים [[דרגת הטרנסצנדנטיות]] של <math>\ \mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n})</math> מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> היא n. ניתן להוכיח גם כי המשפט שקול לטענה שתחת התנאים המצוינים <math>\ e^{\alpha_1},\ldots, e^{\alpha_n}</math> בלתי תלויים ליניארית מעל [[שדה המספרים האלגבריים]].

בשנת [[1761]] [[השערה (מתמטיקה)|שיער]] [[יוהאן היינריך למברט]] (שהוכיח לראשונה את ה[[מספר אי-רציונלי|אי-רציונליות]] של π[[פאי|<math>\pi</math>]]) כי [[פאי|π<math>\pi</math>]] ו-<math>e</math> הם מספרים טרנסצנדנטיים. אולם בתקופה זו כלל לא היה ידוע אם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים.

בשנת [[1844]] הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] את [[משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)|משפט ליוביל]] שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה ([[קבוע ליוביל]]). בשנת [[1873]] הוכיח [[שארל הרמיט]] כי [[טרנסצנדנטיות של e|<math>e</math> מספר טרנסצנדנטי]]. הייתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש. הרמיט הצליח [[הכללה (מתמטיקה)|להכליל]] את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של <math>e</math>.

בשנת [[1882]], בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח [[פרדיננד לינדמן]] להוכיח את המשפט הקרוי על שמו, שכל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] אלגברית שונה מאפס של <math>e</math> היא טרנסצנדנטית. תוצאה זו אפשרה ללינדמן להוכיח בקלות כי π<math>\pi</math> טרנסצנדנטי. הטרנסצנדנטיות של π<math>\pi</math> מראה כי הוא אינו איבר של [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]] ולכן לא ניתן לפתור את בעיית [[תרבוע העיגול]]. בכך קנה לינדמן את תהילתו כמי שפתר חידה בת אלפיים שנה.

ההוכחה כי <math>\ \pi</math> מספר טרנסצנדנטי נובעת בקלות ממשפט לינדמן-ויירשטראס. [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] כי <math>\ \pi</math> אלגברי. [[היחידה המדומה]] <math>\ i</math> אלגברי ולכן גם <math>\ i\pi</math> אלגברי ([[שדה המספרים האלגבריים]] [[סגירות (אלגברה)|סגור]] תחת [[כפל]]). לפי [[זהות אוילר]] <math>\ e^{i\pi}=-1</math> ולכן לפי משפט לינדמן-ויירשטראס נקבל את התוצאה המגוחכת כי <math>\ -1</math> טרנסצנדנטי. לכן ההנחה שגויה ו-<math>\ \pi</math> טרנסצנדנטי.

הכללה של ההוכחה תוכיח כי ה[[פונקציות טריגונומטריות|פונקציות הטריגונומטריות]] מחזירות ערכים טרנסצנדנטיים כאשר הן מופעלות על ערכים אלגבריים שונים מאפס. <math>\ \cos x</math> אלגברי אם ורק אם <math>\ \sin x</math> אלגברי (כינובע מהזהות <math>\ \sin x = \pm\sqrt{1-\cos^2 x}</math>): יהי <math>\ \alpha</math> אלגברי שונה מאפס, נניח בשלילה כי <math>\ \cos {\alpha}, \sin {\alpha}</math> אלגבריים אז לפי [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] <math>\ e^{i \alpha} = \cos{\alpha} + i \sin{\alpha} </math> אלגברי בסתירה למשפט לינדמן-ויירשטראס. תוצאה דומה תקפה לפונקציית הטנגנס ול[[פונקציות היפרבוליות|פונקציות ההיפרבוליות]].

גם [[הלוגריתם הטבעי]] טרנסצנדנטי לכל <math>\ \alpha</math> אלגברי חיובי שונה מ-1. אחרת <math>\ e^{\ln {\alpha}}=\alpha</math> סותר את המשפט.

משוער כי משפט אנלוגי למשפט לינדמן-ויירשטראס נכון גם ב[[שדה המספרים ה-p-אדיים]]. אם <math>\ \alpha_1,\ldots, \alpha_n</math> [[מספר p-אדי|מספרים p-אדיים]] אלגבריים ובלתי תלויים ליניארית מעל <math>\ \mathbb{Q}</math> כך שפונקציית ה[[אקספוננט]] ה-p-אדי <math>\ \exp_p</math> (מוגדרת כ[[טור חזקות]]) מוגדרת עליהם, אזי <math>\ \exp_p(\alpha_1),\ldots, \exp_p(\alpha_n)</math> בלתי תלויים אלגברית מעל <math>\ \mathbb{Q}</math>.