חוג פשוט למחצה – הבדלי גרסאות

המבנה של חוגים פשוטים למחצה (ארטיניים - ראו להלן) ידוע מאז משפטי המבנה של [[ג'וזף ודרברן]] ו[[אמיל ארטין]], והם מהווים אבן פינה בתורת המבנה הכללית של החוגים: לפי [[משפט ודרברן-ארטין]], חוג ''<math>R''</math> הוא פשוט למחצה אם ורק אם הוא איזומורפי ל[[מכפלה ישרה]]

<math>M_{n_1}(D_1)\times M_{n_2}(D_2)\times \cdots \times M_{n_r}(D_r)</math> כאשר <math>\ D_i</math> הם חוגים עם חילוק ו -<math>\ M_n(D)</math> הוא חוג המטריצות בגודל <math>n\times n</math> מעל ''<math>D''</math>.

לפי [[משפט משקה]], עבור [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>F</math> ו[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] סופית <math>G</math>, [[חוג חבורה|חוג החבורה]] <math>\ F[G]</math> הוא פשוט למחצה אם ורק אם ה[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של <math>F</math> לא מחלק את סדר החבורה.

התנאים הבאים שקולים עבור חוג עם יחידה ''<math>R</math>'':

# ''<math>R</math>'' פשוט למחצה.

# ''<math>R</math>'' הוא מכפלה ישרה סופית של [[חוג פשוט|חוגים פשוטים]] [[חוג ארטיני|ארטיניים]], כלומר חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.

# ''<math>R</math>'' הוא [[חוג ראשוני למחצה]] ארטיני.

# כל מודול מעל ''<math>R</math>'' הוא [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיבי]].

# כל מודול ציקלי מעל ''<math>R</math>'' הוא [[מודול פרויקטיבי|פרויקטיבי]].

# כל מודול מעל ''<math>R</math>'' הוא [[מודול_אינג'קטיבי|אינג'קטיבי]].

# כל אידיאל שמאלי של ''<math>R</math>'' הוא [[מודול_אינג'קטיבי|אינג'קטיבי]] כמודול.

# כל [[מודול ציקלי]] מעל ''<math>R</math>'' הוא [[מודול_אינג'קטיבי|אינג'קטיבי]] (Osofsky).

# כל מודול מעל ''<math>R</math>'' הוא פשוט למחצה.

# כל [[סדרה קצרה מדויקת]] מעל ''<math>R</math>'' מתפצלת.

# כל אידיאל שמאלי של <math>R</math> נוצר על ידי [[אידמפוטנט]].

חוג ש[[רדיקל ג'ייקובסון]] שלו הוא אפס נקרא [[חוג פרימיטיבי למחצה|פרימיטיבי למחצה]] (לפעמים גם "פשוט למחצה לפי ג'ייקובסון", או "<math>J</math>-פשוט למחצה"). כל חוג פשוט למחצה הוא פרימיטיבי למחצה, אבל ההפך אינו נכון בדרך כלל. חוג פרימיטיבי למחצה ארטיני הוא פשוט למחצה.