נוצר סופית – הבדלי גרסאות

[[מרחב וקטורי]] נוצר סופית אינו אלא מרחב וקטורי בעל [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי. באופן כללי יותר, אומרים ש[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] <math>M</math> נוצר סופית מעל חוג <math>R</math>, אם יש קבוצת איברים <math>\ x_1,\dots,x_n\in M</math> כך שכל איבר ב-<math>M</math> הוא צירוף מהצורה <math>\ a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n</math> עבור מקדמים מתאימים <math>\ a_1,\dots,a_n \in R</math>. מודול כזה נקרא גם '''מודול סופי'''. נוסח זה מתאים גם עבור [[אידיאל שמאלי]].

חוג נוצר סופית נקרא גם [[חוג אפיני]]. בהחלט ייתכן שחוג שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כשדה; או שמודול שאינו נוצר סופית ככזה, יהיה נוצר סופית כחוג. לדוגמה, [[שדה הפונקציות הרציונליות]] במשתנה אחד, <math>\ F(x)</math> (מעל שדה <math>F</math>) נוצר על ידי איבר אחד כשדה, אבל אינו נוצר סופית כחוג. (אחד המשפטים היסודיים באלגברה קומוטטיבית קובע שחוג אפיני אינו יכול להיות שדה אלא במקרה הטריוויאלי). באותו אופן, חוג הפולינומים במשתנה אחד <math>\ F[x]</math> נוצר כמובן סופית כחוג, אבל הוא בעל מימד אינסופי מעל <math>F</math>, ואינו סופי כמודול.

המבנה של אובייקטים נוצרים סופית עשוי להיות מסובך ביותר, ובדרך כלל תכונה זו אינה נשמרת במעבר לתת-אובייקטים. למשל, יש דוגמה ל[[חבורה פתירה]] [[חבורה מוצגת סופית|מוצגת סופית]] שה[[מרכז (תורת החבורות)|מרכז]] שלה אינו נוצר סופית. לעומת זאת, [[תנאי שרשרת (מתמטיקה)|תנאי השרשרת העולה]] נשמר במעבר לתת-אובייקטים, והוא מהווה תחליף מבני ראוי לנוצרות סופית. לפעמים לא ברור האם אובייקט טבעי הוא בעל קבוצת יוצרים סופית או לא. למשל, חבורת המטריצות <math>\ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math> נוצרת סופית, אבל <math>\ \operatorname{GL}_2(F[t])</math> אינה נוצרת סופית אפילו אם <math>F</math> [[שדה סופי]]; תוצאות ב[[תורת K האלגברית]] מראות ש-<math>\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_d])</math> נוצרת סופית אם <math>n</math> גדול מספיק, אבל לא תמיד ידוע הערך הראשון שבו התופעה מתרחשת. <!-- see H. Bass, Algebraic Methods in K theory, first pages-->