סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 46.19.86.2 (שיחה) לעריכה האחרונה של Mathmathy
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 1:
ב[[טופולוגיה]], '''סְגוֹר''' של קבוצה <math>S</math> השייכת למרחב <math>X</math> הוא [[קבוצה סגורה|הקבוצה הסגורה]] הקטנה ביותר המכילה את <math>S</math>. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי <math>S</math> ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה <math>S</math>.
 
==הגדרה פורמלית==
יהא <math>\!\, X</math> מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא <math>\!\, S\subseteq X</math> קבוצה. אם <math>\!\, \Lambda</math> היא קבוצת הקבוצות הסגורות <math>A</math> המקיימות <math>\!\, S\subseteq A\subseteq X</math>, אז ה'''סגור''' של <math>\!\, S</math> יסומן <math>\!\, \mbox{Cl}(S)</math> או <math>\!\, \bar{S}</math>, ויוגדר על ידי:
:: <math>\!\, \overline{S} = \mbox{Cl}(S)=\bigcap_{A\isin\Lambda}A</math>.
 
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
 
* <math>\!\, \mbox{Cl}(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם).
*<math>\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא [[הקבוצה הנגזרת]] של <math>\!\, S</math>.
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>.
 
==דוגמאות==
* הסגור של [[קטע פתוח|הקטע הפתוח]] <math> \ (a,b) </math> הוא הקטע הסגור <math> \ [a,b] </math>.
* הסגור של [[מספר רציונלי|קבוצת המספרים הרציונלים]] <math> \mathbb{Q}</math> הוא הישר הממשי כולו <math> \mathbb{R}</math>.
 
==תכונות הנוגעות לסגור==
 
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=\mbox{Cl}(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)</math>.
*<math>\!\, A\subseteq B \rArr \mbox{Cl}(A)\subseteq \mbox{Cl}(B)</math>.
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>.
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>.
*<math>\!\, f</math> היא [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)</math>. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה.
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]].
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]].
 
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[פנים (טופולוגיה)|הפנים]].