מונואיד (מבנה אלגברי) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 12:
** אוסף ההומומורפיזמים מ[[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
** אוסף ההומיאומורפיזמים מ[[מרחב טופולוגי]] לעצמו, הוא מונואיד ביחס לפעולת ההרכבה.
* אם <math>R</math> הוא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]], אז הוא מונואיד ביחס לפעולת הכפל.
* האוסף של מילים סופיות ב[[אלפבית]] <math>X</math>, ביחס לפעולת ה[[שרשור (מחרוזות)|שרשור]] (זהו המונואיד החופשי על <math>X</math>, ראו [[חבורה חופשית]]).
 
==איברים במונואיד==
 
במונואיד, איבר <math>a</math> הוא "הפיך מימין" אם קיים <math>c</math> כך שמתקיים <math>ac=1</math> (אז <math>c</math> נקרא "הפכי מימין" של <math>a</math>), ו"הפיך משמאל" אם קיים <math>b</math> כך שמתקיים <math>ba=1</math> (אז <math>b</math> "הפכי משמאל" של <math>a</math>). ייתכנו במונואיד איברים שהם הפיכים מימין אבל לא משמאל, או להפך. ההפכי מימין אינו בהכרח יחיד, וכן להפכי משמאל. לעומת זאת, איבר שהוא גם הפיך מימין וגם הפיך משמאל מוכרח להיות הפיך (כלומר, קיים <math>d</math> כך שמתקיים <math>ad=da=1</math>), ואז יש לו הפכי יחיד מימין השווה להפכי היחיד משמאל; איבר זה נקרא ה'[[איבר הפכי|הפכי]]' של <math>a</math> ומסומן ב- <math>\ a^{-1}</math>. מונואיד שבו כל האיברים הפיכים נקרא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]].
 
==מבנים במונואיד==
 
במונואיד אפשר להגדיר '''תת-מונואיד''' בדומה לתת-חבורה של חבורה: תת-קבוצה <math>S</math>, המכילה את איבר היחידה, מהווה תת-מונואיד אם היא סגורה לכפל (כלומר, לכל <math>\ a,b \in S</math> גם <math>\ ab\in S</math>). אוסף האיברים ההפיכים במונואיד מהווה תת-מונואיד, שהוא גם חבורה (זו נקראת 'חבורת ההפיכים במונואיד'). בדומה להגדרה בחוגים, אפשר להגדיר במונואיד אידיאל (ימני, שמאלי, או דו-צדדי), וגם 'מונואיד מנה' ביחס לאידיאל. האידיאל המינימלי של מונואיד קומוטטיבי (כלומר, חיתוך כל האידיאלים של המונואיד), הוא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]].
 
==מונואידים עם צמצום==
 
הסרת האקסיומה על קיום הפכיים גורמת לכך שהמבנה של מונואידים הרבה יותר מסועף מזה של חבורות. לשם המחשה, ישנם 2237 מונואידים שונים בעלי ששה איברים (ורק שתי חבורות מסדר זה). באמצע הדרך בין המונואידים הכלליים לבין החבורות עומדים מונואידים עם צמצום: כאלה שבהם מ- <math>ax=ay</math> נובע <math>x=y</math> (זהו "צמצום משמאל"), ומ- <math>xa=ya</math> נובע <math>x=y</math> (צמצום מימין). לדוגמה, כל מונואיד המוכל בחבורה מקיים את תכונת הצמצום.
 
השיכון ההדוק ביותר הוא ב"חבורת שברים", היינו כזו שכל איבר שלה הוא מהצורה <math>\ a^{-1}b</math>, כאשר <math>a,b</math> שייכים למונואיד; שיכון כזה קיים אם ורק אם המונואיד מקיים את [[תנאי אור]] (Ore's condition): לכל <math>a,b</math> יש איברים <math>x,y</math> כך ש- <math>xa=yb</math>. מונואיד עם צמצום המקיים איזושהי זהות (כגון <math>\ x_1x_2x_2x_1x_2x_2=x_2x_2x_1x_2x_2x_1</math>, ובפרט: כל מונואיד קומוטטיבי עם צמצום), או שיש לו [[גידול (אלגברה)|גידול]] תת-אקספוננציאלי, מקיים את תנאי אור.
 
באופן כללי, השאלה האם מונואיד עם צמצום הנתון לפי [[חבורה מוצגת סופית|הצגה סופית]] שלו ניתן לשיכון בחבורה, אינה [[כריעות|כריעה]]. עבור מונואידים סופיים התשובה תמיד חיובית (די להניח צמצום משמאל. '''הוכחה''': יהי <math>\ M</math> מונואיד כזה. לכל <math>\ a\in M</math>, הפונקציה <math>\ f:M\rightarrow M</math> המוגדרת על ידי <math>\ f(x)=ax</math> היא פונקציה הפיכה (לפי הצמצום), ולפי ה[[קבוצה סופית|סופיות]] היא מוכרחה להיות על. בפרט קיים איבר <math>\ b\in M</math> כך ש- <math>\ ab=f(b)=1</math>, ובמלים אחרות כל איבר <math>a</math> הוא הפיך מימין. בפרט, האיבר <math>b</math> המקיים <math>\ ab=1</math> הפיך מימין, אבל השוויון מראה שהוא גם הפיך משמאל. כאיבר הפיך מימין ומשמאל הוא הפיך, ו- <math>a</math> הוא ההפכי שלו. לכן גם <math>a</math> הפיך, ו- <math>M</math> הוא חבורה). ב-1960 נתן Adian קריטריון קומבינטורי על ההצגה, המבטיח שיכון כזה (אבל אינו הכרחי).
 
מאידך, יש מונואידים עם צמצום (מימין ומשמאל) שאינם ניתנים לשיכון בתוך חבורה (אפילו כזו שאינה חבורת שברים){{הערה|1=לדוגמה המפורסמת של Mal'cev, ראו למשל T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, משפט 9.8.}}. מלצב נתן סדרה אינסופית של תנאים שמונויד המקיים אותם משוכן בחבורה, והראה שתת-קבוצה סופית של התנאים האלה אינה מספיקה.
שורה 35:
== מונואידים בתורת ההצגות ==
 
מונואידים מופיעים באופן טבעי בתורת ההצגות של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוגים]], באופן הבא. יהי <math>R</math> חוג. נתבונן במודולים מעל <math>R</math> ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] איזומורפיזם), עם פעולת החיבור שמגדיר הסכום הישר. זוהי פעולה אסוציאטיבית וקומוטטיבית, עם מודול האפס כאיבר יחידה. תורת ההצגות חוקרת בין השאר מנות של המונואיד הזה, כשהדוגמה החשובה ביותר היא [[חבורת גרותנדיק]] שלו, המגדירה את ה[[פונקטור]] [[K0]].
 
בהקשר זה הוגדרו כמה תכונות מופשטות של מונואידים, שמתקיימות במונואידים מתורת ההצגות אם מניחים די הנחות על החוג. להלן כמה דוגמאות.
* המונואיד הוא '''קוני''' (או '''מצומצם''') אם מ-<math>x+y=0</math> נובע <math>x=y=0</math>.
* למונואיד '''יש יחידת סדר''' אם יש בו איבר <math>u</math>, כך שלכל <math>x</math> קיים <math>y</math>y כך ש- <math>x+y=nu</math> עבור שלם מתאים <math>n</math>.
* המונואיד '''ניתן לעידון''' אם לכל שוויון <math>a_1+a_2=b_1+b_2</math> קיימים <math>x_{ij}</math> כך ש-<math>a_i = x_{i1}+x_{i2}, \, b_j = x_{1j}+x_{2j}</math>.
* המונואיד '''מפריד''' אם מ- <math>x+y=x+x=y+y</math> נובע <math>x=y</math>. (כל מונואיד נוצר סופית הניתן לעידון הוא מפריד).
 
==קישורים חיצוניים==