הבדלים בין גרסאות בדף "חוג נתרי"

הוסרו 20 בתים ,  לפני 7 חודשים
מ
הגהה, עריכת נוסחאות
מ (בוט החלפות: אידיאל)
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
חוג הוא נתרי אם ורק אם הוא [[מודול נתרי|נתרי]] כ[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל עצמו (משום שהאידיאלים השמאליים של החוג הם תת-המודולים שלו).
 
* "'''תנאי המקסימום'''" (לאידיאלים שמאליים) קובע שבכל קבוצה לא ריקה של אידיאלים שמאליים בחוג <math>\ R</math>, קיים איבר מקסימלי, כלומר אידיאל שלא מוכל באף אידיאל אחר מהקבוצה (אף על פי שאידיאל כזה בדרך כלל אינו [[אידיאל מקסימלי]]). חוג <math>R</math> הוא נתרי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי המקסימום על אידיאלים שמאליים.
מתנאי המקסימום אפשר להסיק שכל אידיאל שמאלי בחוג מוכל באידיאל שמאלי מקסימלי; תכונה זו נכונה בכל חוג, על-פי [[הלמה של צורן]].
* '''"תנאי הבסיס הסופי"''': כל אידיאל שמאלי <math>\ I</math> ב-<math>\ R</math> נוצר סופית (כלומר קיימים <math>\ a_1, a_2,..., a_n</math> ב-<math>\ R</math> כך ש <math>\ I=Ra_1+Ra_2+...+ Ra_n</math>). החוג <math>R</math> מקיים תנאי זה אם ורק אם הוא נתרי.
 
'''משפט'''. חוג קומוטטיבי הוא נתרי אם ורק אם כל אידיאל ראשוני נוצר סופית.
 
==תכונות==
* בחוג נתרי <math>\ R</math>, כל אידיאל מכיל מכפלה (סופית) של אידיאלים ראשוניים. מוכיחים זאת באמצעות תנאי המקסימום. בפרט, יש מכפלה של אידיאלים ראשוניים השווה לאפס (בתחומי-שלמות נתריים אידיאל האפס הוא בעצמו ראשוני).
 
* כל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הוא חוג נתרי. זה נובע מכך שהאידיאלים היחידים בשדה הם השדה עצמו ו-<math>\ \{0\}</math>.
* [[משפט הבסיס של הילברט]]: אם <math>\ R</math> חוג נתרי אז <math>\ R[x]</math> חוג נתרי (<math>\ R[x]</math> הוא חוג הפולינומים במספר סופי של משתנים מעל <math>\ R</math>). ניתן להוכיח זאת בשתי דרכים - על ידי תנאי המקסימום ועל ידי תנאי הבסיס הסופי. ההוכחה של [[דויד הילברט|הילברט]] עצמו עושה שימוש ניכר בתנאי הבסיס הסופי.
* כל [[הומומורפיזם|תמונה הומומורפית]] <math>\ R'</math> של חוג נתרי <math>\ R</math> היא נתרית בעצמה. במלים אחרות, אם <math>\ R</math> חוג נתרי ו-<math>\ I</math> אידיאל, אז חוג המנה <math>\ R/I</math> גם הוא נתרי. ('''הוכחה''': כל אידיאל של חוג המנה הוא תמונה של אידיאל של <math>R</math>, הנוצרת על ידי תמונתה של קבוצת יוצרים סופית שם).
משלוש התכונות האחרונות נובע שכל אלגברה קומוטטיבית נוצרת סופית היא נתרית.
 
* כל [[תחום שלמות]] נתרי <math>\ R</math> הוא [[תחום אטומי|אטומי]], כלומר: כל איבר <math>\ a</math> שאינו [[איבר הפיך|הפיך]] אפשר להציג כמכפלה של [[איבר אי-פריק|איברים אי-פריקים]] מתוך <math>\ R</math>.
'''הוכחה:''' נשתמש כאן פעמיים בתנאי ה-ACC של חוג נתרי. נניח ש-<math>a</math> הוא איבר לא הפיך ב-<math>R</math>, ונגדיר את הסדרה <math>\left\{a_n\right\}</math> על ידי הכללים: <math>\ a_1 = a</math>;
<math>\ a_n</math> הוא מחלק אמיתי של <math>\ a_{n-1}</math> (מחלק אמיתי - אינו הפיך, וגם המנה ביחס אליו אינה הפיכה). האידיאלים מהצורה <math>\ Ra_n</math> יוצרים שרשרת עולה ממש, ולכן, על פי תנאי ה-ACC, זו שרשרת סופית, והאיבר האחרון בה הוא אי-פריק. הוכחנו כי לכל איבר לא הפיך יש מחלק אי-פריק. נשתמש בעובדה זו על מנת ליצור סידרה חדשה <math>\left\{b_n\right\}</math> המוגדרת על ידי: <math>\ b_1 = a</math>;
<math>\ b_{n-1} = b_np_n</math>, כאשר <math>\ p_n</math> אי-פריק.
קיבלנו ש -<math>\ a=p_2 ... p_m b_m</math> הוא מכפלה של איברים אי-פריקים.
* כל [[תחום ראשי]] הוא נתרי (מכיוון שהאידיאלים שלו נוצרים סופית).
 
'''השערת ג'ייקובסון''', השואלת האם <math>\ \bigcap J(R)^n = 0</math> כאשר <math>\ J(R)</math> הוא [[רדיקל ג'ייקובסון]] של החוג, פתוחה עבור חוגים שהם נתריים גם מימין וגם משמאל.
 
==דוגמאות==
* [[חוג המספרים השלמים]] - <math>\ \mathbb{Z}</math>. זה נובע מכך ש-<math>\ \mathbb{Z}</math> הוא [[תחום ראשי]].
* [[חוג השלמים ה-p-אדיים]] <math>\mathbb{Z}_p</math> כאשר <math>\ p</math> ראשוני. בחוג זה כל אידיאל נוצר על ידי חזקה של <math>\ p</math>.
* [[פולינום|חוג הפולינומים]] בשני משתנים מעל שדה המרוכבים: <math>\mathbb{C}[x,y]</math>. בחוג זה כל האידיאלים נוצרים סופית. (לפי משפט הבסיס של הילברט).
* דוגמה לחוג '''לא חילופי''' שהוא נתרי-ימני אך לא נתרי שמאלי: נתבונן בחוג מטריצות מגודל <math>\ 2 \times 2</math> המוגדר: <math>\ R= \begin{pmatrix}
\mathbb{Z} & \mathbb{Q} \\
0 & \mathbb{Q} \\
\end{pmatrix} </math>.{{ש}}ניתן לראות שחוג זה אינו נתרי שמאלי אם נתבונן בקבוצת [[אידיאל (אלגברה)|האידיאלים]] הבאה: <math>\ I_n= \{\begin{pmatrix}
0 & \frac{m}{2^n} \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} | m \in \mathbb{Z} \} </math>. {{ש}} עבור כל <math>\ n</math>, <math>\ I_n</math> הוא אידיאל שמאלי ב- <math>\ R</math>, ומתקיים: <math>\ I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2 \subsetneq ... </math>. יש לנו שרשרת עולה אינסופית של אידיאלים שמאליים ומכאן שהחוג אינו נתרי שמאלי. לעומת זאת החוג <math>\ R</math> הוא נתרי ימני ([http://planetmath.org/encyclopedia/ExampleOfRightNoetherianRingThatIsNotLeftNoetherian.html הוכחה]).
 
==מקורות==