חבורה חופשית – הבדלי גרסאות

'''חבורה חופשית''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שקבוצת ה[[יוצרים של חבורה|יוצרים]] שלה <math>\ X</math> אינה מקיימת אף [[הצגה לפי יוצרים ויחסים|יחס]]. בחבורה כזו כל איבר הוא מילה סופית ב'שפה' שהאותיות שלה הן הסימנים <math>\ x, x^{-1}</math> עבור <math>\ x\in X</math>, ואין בה שתי אותיות רצופות מן הצורה <math>\ xx^{-1}</math> או <math>\ x^{-1}x</math>. הכפל בחבורה מוגדר על ידי [[שרשור (מחרוזות)|הדבקת]] שתי המילים זו לזו, ומחיקת הצירופים האסורים אם יש כאלה. את החבורה המתקבלת מבניה זו מסמנים ב- <math>\ \langle X\rangle</math>. ראו גם [[מונואיד חופשי]]. <!-- הקישור דווקא צריך להיות כאן ולא בסוף. -->

אם שתי קבוצות <math>X</math> ו- <math>Y</math> הן בעלות אותה [[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]], אז החבורות <math>\ \langle X\rangle</math> ו- <math>\ \langle Y\rangle</math> [[איזומורפיזם|איזומורפיות]] זו לזו. בפרט, את החבורה הנוצרת על ידי קבוצה (כלשהי) בגודל <math>n</math> מקובל לסמן ב- <math>\ \mathbb{F}_n</math>. מספר היוצרים של חבורה חופשית מוגדר היטב (כלומר, בחבורה חופשית לא יכולות להיות שתי קבוצות יוצרים חופשיות בגודל שונה), והוא נקרא ה'''דרגה''' של החבורה. את הדרגה של חבורה חופשית <math>\ F</math> מסמנים ב- <math>\ rank(F)</math>. כך למשל <math>\ rank(\mathbb{F}_n)=n</math>.

הראשון להגדיר חבורה חופשית (נוצרת סופית) היה Walther von Dyck, ב-[[1882]], שביקש לתת תיאור אלגברי מדויק למושג הפעולה הגאומטרית של חבורה על המרחב. הוא הראה שכל חבורה נוצרת סופית היא מנה של חבורה חופשית. המשפט המשמעותי הראשון בתחום הנקרא היום [[תורת החבורות הקומבינטורית]] הוא [[משפט נילסן-שרייר]], הקובע שתת-חבורה של חבורה חופשית גם היא חבורה חופשית. אולי במפתיע, הדרגה של תת-חבורה מ[[אינדקס (תורת החבורות)|אינדקס]] סופי תמיד גדולה מזו של החבורה: אם <math>F</math> חופשית ו-<math>\ H \leq F</math> תת-חבורה מאינדקס סופי, אז <math>\ [F:H] = \frac{rank(H)-1}{rank(F)-1}</math>. אם <math>F</math> חבורה חופשית נוצרת סופית, אז לכל אנדומורפיזם <math>\ \sigma : F \rightarrow F</math>, תת-החבורה הקבועה <math>\ F^{\sigma} = \{x \in F : \sigma(x) = x\}</math> היא נוצרת סופית{{הערה|Goldstein-Turner 1986}}. אם <math>\ \sigma</math> אוטומורפיזם, הדרגה של <math>\ F^{\sigma}</math> אינה עולה על זו של <math>F</math>{{הערה|Bestvina-Handel 1992}}. החיתוך של שתי תת-חבורות נוצרות סופית של <math>F</math> הוא תת-חבורה נוצרת סופית{{הערה|Howson 1954}}.

חבורה חופשית היא [[אובייקט חופשי]] ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של החבורות. בניסוח אחר, חבורה חופשית <math>F</math> עם קבוצת יוצרים <math>X</math> מקיימת את התכונה הבאה, הנקראת '''אוניברסליות''': לכל חבורה <math>\ G</math> ופונקציה <math>\ f:X\rightarrow G</math> קיים [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] יחיד

<math>\ \psi :F \rightarrow G</math> המקיים <math>\psi\circ\phi=f</math>, כאשר <math>\ \phi: X \rightarrow F</math> הוא השיכון של <math>X</math> ב- <math>F</math>. בפרט נובע מזה שעבור כל חבורה <math>G</math> הנוצרת על ידי הקבוצה <math>X</math>, קיים [[אפימורפיזם]] <math>\ \langle X\rangle \rightarrow G</math>, ובמילים אחרות כל חבורה אפשר להציג כ[[חבורת מנה]] של חבורה חופשית. אם <math>\ G \cong F/N</math> כאשר <math>\ F=\langle X\rangle</math> חופשית, אז <math>\ N=\langle R \rangle</math> חופשית (לפי [[משפט נילסן-שרייר|משפט שרייר]]), והיוצרים שלה, אברי <math>R</math>, נקראים '''יחסים''' של <math>G</math>. המנה <math>\ \langle X\rangle/\langle R\rangle</math> מסומנת ב- <math>\ \langle X|R\rangle</math> ונקראת '''[[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]]''' של <math>G</math> על ידי יוצרים ויחסים (זוהי presentation, להבדיל מ-representation).

[[חבורת האוטומורפיזמים]] של חבורה חופשית נוצרת על ידי פעולות טבעיות על היוצרים, מן הצורה <math>\ x_i \mapsto x_i x_j</math>, והיחסים בין היוצרים האלה מוכרים וידועים. מ[[חבורת האוטומורפיזמים החיצונית]] <math>\ \operatorname{Out}(\mathbb F_n) = \operatorname{Aut}(\mathbb{F}_n)/\operatorname{Inn}(\mathbb{F}_n)</math> יש הטלה טבעית על החבורה הליניארית <math>\ \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})</math>, המוגדרת על ידי ההטלה <math>\ \mathbb{F}_n \rightarrow \mathbb{Z}^n</math>. כאשר <math>n=2</math>, חבורת האוטומורפיזמים החיצונית איזומורפית ל- <math>\ \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})</math>