הקבוצה הריקה – הבדלי גרסאות

נוספו 150 בתים ,  לפני שנתיים
מ
הגהה, עריכת נוסחאות
(גיאורג וילהלם פרידריך הגל ==> גאורג וילהלם פרידריך הגל)
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
'''הקבוצה הריקה''' היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] שאין בה [[איבר (מתמטיקה)|איבר]]ים, והיא מסומנת בסימן <math>\emptyset</math> (שמקורו באות ה[[נורווגית]] "&Oslash;"{{הערה|1=[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic]}}, אין קשר לאות היוונית [[פי|ϕ]]) או בצורה {}.
 
במסגרת ה[[אקסיומה|אקסיומות]] של [[תורת הקבוצות]] נכללת '''אקסיומת הקיום''': קיימת קבוצה ''<math>A''</math> כך שלא קיים <math>\ x </math> עבורו <math>x \in A</math>. כלומר, אקסיומה זו קובעת שקיימת קבוצה ריקה.
 
על-פי [[תורת הקבוצות האקסיומטית|אקסיומת היחידות]] ניתן להוכיח את יחידות הקבוצה הריקה, כלומר קיימת רק אחת כזו.
 
==תכונות של הקבוצה הריקה==
* לכל קבוצה <math>A</math>, הקבוצה הריקה היא [[תת-קבוצה]] של <math>A</math>:
: <math>\empty \subseteq A</math>
* לכל קבוצה <math>A</math>, ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] של <math>A</math> עם הקבוצה הריקה שווה ל-<math>A</math>:
: <math>A \cup \empty = A</math>
* לכל קבוצה <math>A</math>, ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] של <math>A</math> עם הקבוצה הריקה שווה לקבוצה הריקה:
: <math>A \cap \empty = \empty </math>
* ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]] של הקבוצה הריקה הוא [[הקבוצה האוניברסלית]]:
: <math>\!\, \emptyset'=U</math>
* תת-הקבוצה היחידה של הקבוצה הריקה היא הקבוצה הריקה. [[קבוצת החזקה]] שלה היא [[יחידון]] הכולל את הקבוצה הריקה בלבד.
* ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] של הקבוצה הריקה היא אפס, ובפרט: הקבוצה הריקה היא [[קבוצה סופית]].
* לכל קבוצה ''<math>A</math>'' קיימת בדיוק [[פונקציה]] אחת <math>f:\empty \rightarrow A</math> (הלוא היא [[הפונקציה הריקה]], שאין בה זוגות סדורים כלל). אם <math>A</math> אינה ריקה, אז אין פונקציות <math>f:A \rightarrow \empty</math>.
* בכל [[מרחב טופולוגי]] הקבוצה הריקה היא הן [[קבוצה פתוחה]] והן [[קבוצה סגורה]].
* במונחים של [[קטגוריה (מתמטיקה)|תורת הקטגוריות]], הקבוצה הריקה היא [[אובייקט התחלתי]] בקטגוריה של קבוצות.
==חשיבות הקבוצה הריקה במתמטיקה==
 
המתמטיקה שואפת להשתמש במספר קטן ככל האפשר של הנחות יסוד ([[אקסיומה|אקסיומות]]) ושל הגדרות יסוד. [[תורת הקבוצות]] מבוססת על מושג אטומי אחד, מושג הקבוצה, ועל [[יחס בינארי|יחס]] אחד - [[יחס השייכות]]. אחת האקסיומות במערכת [[אקסיומות צרמלו-פרנקל|צרמלו-פרנקל]] קובעת שיש קבוצה ריקה ("קיים <math>x</math> כך שלכל <math>y</math>, לא נכון ש-<math>\ y\in x</math>", כלומר, יש קבוצה שאין לה איברים), והגדרת השוויון מבטיחה שקבוצה זו היא יחידה (לכל שתי קבוצות ריקות יש בדיוק אותם איברים).
 
הקבוצה הריקה משמשת מעין 'אבן בניין' שממנה ניתן לבנות קבוצות רבות נוספות, מה שהופך אותה במובן מסוים לעצם היסודי והבסיסי ביותר במתמטיקה. כך לדוגמה ניתן להגדיר את <math>\ \{\emptyset\}</math> (הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה) ואת <math>\ \{\{\emptyset\}\}</math> (הקבוצה המכילה את הקבוצה המכילה את הקבוצה הריקה). באמצעות בניות בנוסח זה ניתן לבנות הגדרות למושגים בסיסיים במתמטיקה כגון [[מספר]]ים, [[פונקציה|פונקציות]] ואובייקטים [[גאומטריה|גאומטריים]] כגון נקודות, קווים ומעגלים.
 
===מספרים===
: <math>3 = \{0,1,2\} = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \}</math>
: <math>4 = \{0,1,2,3\} = \{ \emptyset , \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} , \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} \}</math>
: <math>\ n+1 = n\cup \left\{n\right\}</math>
</div>
 
באמצעות המספרים הטבעיים ניתן לבנות את כל [[מערכת מספרים|מערכות המספרים]] החשובות: את ה[[מספר שלם|מספרים השלמים]] (שנבנים בתור [[זוג סדור]] של מספרים טבעיים - כך שהמספר השלם הוא כביכול תוצר החיסור של המספר השני מהמספר הראשון), ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] (כזוגות סדורים של מספרים שלמים), ה[[שדה המספרים הממשיים|מספרים הממשיים]] (כ[[גבול (מתמטיקה)|גבול]] ל[[סדרה|סדרות]] של מספרים רציונליים) ואת [[מספר מרוכב|המספרים המרוכבים]] (כזוגות סדורים של מספרים ממשיים). באמצעות ה[[מערכת צירים קרטזית|שיטה הקרטזית]] ניתן להגדיר מונחים בגאומטריה באמצעות מספרים: [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] במרחב n ממדי מוגדרת כקבוצה סדורה של <math>n</math> מספרים ממשיים, קו מוגדר כאוסף נקודות, וכן הלאה.
 
===משחקים===