תת-קבוצה – הבדלי גרסאות

הוסרו 105 בתים ,  לפני שנה
מ
הגהה, עריכת נוסחאות
מ
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
תגית: עריכת קוד מקור 2017
[[קובץ:Group set.png|שמאל|ממוזער|250px|[[דיאגרמת ון]] של קבוצה עם תת-קבוצה המוכלת בה]]
ב[[תורת הקבוצות]], אומרים שה[[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] הנתונה <math>\ B</math> היא '''תת-קבוצה''' של הקבוצה הנתונה <math>\ A</math>{{הערה|1=או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית''' לקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ B</math> '''מוכלת''' בקבוצה <math>\ A</math>, או: הקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה''' את הקבוצה <math>\ B</math>}} אם כל איבר של הקבוצה <math>\ B</math> שייך גם לקבוצה <math>\ A</math>. (בניסוח פורמלי: לכל <math>\ x\in B</math> מתקיים <math>\ x \in A</math>).
 
את הקשר "<math>\ B</math> מוכלת ב-<math>\ A</math>" (או: <math>\ B</math> חלקית ל-<math>\ A</math>, או: <math>\ B</math> תת-קבוצה של <math>\ A</math>, או, <math>\ A</math> מכילה את <math>\ B</math>) מסמנים כך: <math>\ B \subseteq A</math>, והוא מכונה '''יחס ההכלה'''.
 
==מאפיינים==
ל[[יחס]] ההכלה המאפיינים הבאים:
* "[[יחס רפלקסיבי|רפלקסיביות]]": כל קבוצה היא תת-קבוצה של עצמה (ובמילים שקולות: כל קבוצה מוכלת בעצמה, או: כל קבוצה היא חלקית לעצמה).
* "[[טרנזיטיביות]]": אם הקבוצה <math>\ A</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ B</math> והקבוצה <math>\ B</math> היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math>, אזי הקבוצה <math>\ A</math> היא גם תת-קבוצה של הקבוצה <math>\ C</math> (בניסוח פורמלי: אם <math>\ A \subseteq B</math> וגם <math>\ B \subseteq C</math> אז <math>\ A \subseteq C</math>).
 
אם כן, יחס ה'''הכלה''' הוא [[יחס סדר חלקי]]: הוא [[רפלקסיביות|רפלקסיבי]], [[יחס אנטי סימטרי|אנטיסימטרי חלש]] ו[[טרנזיטיביות|טרנזיטיבי]]. היחס אינו שלם: כי יש זוגות של קבוצות (כמו קבוצת הגברים וקבוצת הישראלים, או הקבוצה <math>\ \{ 1,2 \}</math> והקבוצה <math>\ \{ 2,3 \}</math>) שאף אחת מהן אינה מכילה את רעותה.
 
==יחסים נוספים==
באמצעות יחס ההכלה ניתן להגדיר את יחס השוויון בין קבוצות; אומרים שהקבוצה <math>\ A</math> שווה לקבוצה <math>\ B</math> [[אם ורק אם]] הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> וגם הקבוצה <math>\ B</math> מכילה את הקבוצה <math>\ A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>A = B\iff B\subseteq A \land A\subseteq B</math>).
 
באמצעות יחס ההכלה ויחס השוויון ניתן להגדיר יחס נוסף; כאשר הקבוצה <math>\ A</math> מכילה את הקבוצה <math>\ B</math> אך אינה שווה לה (יש איבר בקבוצה <math>\ A</math> שהוא אינו איבר בקבוצה <math>\ B</math>, ובניסוח פורמלי <math>\ B \subseteq A</math> וגם <math>\ B \neq A</math>), נאמר שהקבוצה <math>\ A</math> '''מכילה ממש''' את הקבוצה <math>\ B</math>, או במילים שקולות: הקבוצה <math>\ B</math> היא '''חלקית ממש''' לקבוצה <math>\ A</math>. יחס זה מסמנים <math>\ B \subset A</math>. (בכתיב פורמלי: <math>B \subset A\iff B\subseteq A \land B\neq A</math>).
 
הסימון <math>\ \subset</math> עשוי להטעות: בעוד שכאן (ובמרבית הספרים והמאמרים המודרניים) מציינים <math>\ \subseteq</math> ו-<math>\ \subset</math> הכלה ו"הכלה ממש" בהתאמה, יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים <math>\subset</math> ו-<math>\subsetneq</math> לאותן מטרות, בהתאמה.
 
==ראו גם==