משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

←‏חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם: שיפור הנראות של הנוסחאות
מ (←‏נוסח פורמלי: תיקון קישור)
(←‏חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם: שיפור הנראות של הנוסחאות)
==חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם==
 
יהי X מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות <math>\ A_n</math> מהוות סדרה יורדת שבה '''הקוטר שואף לאפס''', אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות [[קומפקטיות]]: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות [[מרחב חסום לחלוטין|חסומות כליל]] תספיק, משום שהמרחב <math>X</math> שלם על-פי ההנחה.
 
מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים <math>\ A_n=[n,\infty)</math> על [[הישר הממשי]]. אפילו אם הקבוצות [[מרחב חסום|חסומות]], החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות <math>\ A_n = \{e_n,e_{n+1},\dots\}</math> ב[[מרחב בנך]] <math>\ \ell_p</math>, כאשר <math>\ e_n</math> הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת.
===כיוון אחד===
 
נניח כי <math>\!\,X</math> מרחב מטרי שלם, ותהא <math>\left\{A_n\right\}_n</math> סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה <math>\left\{x_n\right\}_n</math> על ידי זה שנבחר מכל <math>\!\,A_n</math> איבר <math>\!\,x_n</math> כלשהו. נראה כי זוהי [[סדרת קושי]]: יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו. בגלל שמתקיים <math>\!\,\lim_{n \rarrto \infty}diam \operatorname{diam}(A_n) = 0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שהחל ממנו לכל <math>\!\,n>N</math> מתקיים <math>\!\,operatorname{diam }(A_n) < \epsilon</math>.
 
כעת יהיו <math>\!\,m,n>N</math> כלשהם, ונניח [[ללא הגבלת הכלליות]] שמתקיים <math>\!\,m \leleq n</math>. אז <math>\!\,A_m\supseteq A_n</math> ולכן <math>\!\,x_n,x_m \isinin A_m</math>. על כן <math>\!\,d(x_n,x_m) \leleq \operatorname{diam}(A_m) diamA_m< \epsilon</math> וזאת לכל <math>\!\,m,n > N</math>, ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב <math>\!\,X</math> שלם היא מתכנסת. נסמן <math>\!\,x_n \rarrto x</math>.
 
נראה כי <math>\!\,x</math> שייך לכל הקבוצות. תהא <math>\!\,A_k</math> כלשהי, אז לכל <math>\!\,m \gegeq k</math> מתקיים <math>\!\,x_m \isinin A_k</math>, כלומר הזנב של הסדרה <math>\!\,x_n</math>, החל מהאיבר <math>\!\,k</math>, שייך לקבוצה <math>\!\,A_k</math>. על כן, האיבר <math>\!\,x</math> הוא [[נקודת גבול]] של <math>\!\,A_k</math> (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה <math>\!\,A_k</math>). מכיוון ש-<math>\!\,A_k</math> היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן <math>\!\,x \isinin A_k</math>, וזאת לכל <math>\!\,k</math>, ולכן <math>\!\,x \isinin \bigcap_n A_n</math>.
 
נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי <math>\!\,x,y \isinin\bigcap_n A_n</math>,אז לכל <math>\!\,k</math> מתקיים <math>\!\,x,y \isinin A_k</math>. יהא <math>\!\,\epsilon>0</math> כלשהו, אז קיים <math>\!\,N</math> כלשהו כך ש-<math>\!\,diamA_Noperatorname{diam}(A_N) < \epsilon</math>, ומכיוון ש<math>\!\,x,y \isinin A_N</math>, ולכן <math>\!\,d(x,y) \le diamA_N\operatorname{diam}(A_N) < \epsilon</math>. כלומר <math>\!\,d(x,y)<\epsilon</math> לכל <math>\!\,\epsilon>0</math> ולכן בהכרח <math>\!\,d(x,y)=0</math> ומכאן, על פי תכונות ה[[מטריקה]], <math>\!\,x=y</math>.
 
===כיוון שני===
 
 
לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\!\,A_n =Cl \left(\leftoverline{\{x_m|m\ge n\right\}\right)}</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>\!\, A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
 
אנו רוצים להוכיח כי <math>\!\,\lim_{n \rarrto\infty}diam \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\!\,operatorname{diam }(A) =diam Cl\operatorname{diam}(\bar{A})</math>. ברור כי <math>\!\,operatorname{diam }(A) \leleq \operatorname{diam Cl}(\bar{A})</math> (כי <math>\!\,Cl(bar{A)}</math> מכילה את <math>\!\,A</math>).
 
יהיו <math>\!\,a,b \isinin Cl(\bar{A)}</math>, אז קיימות סדרות <math>\!\,\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}</math> שכל אבריהן שייכים לקבוצה <math>\!\,A</math> כך ש-<math>\!\,a_n \rarrto a, b_n \rarrto b</math> זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל<math>\!\,A</math>, מתקיים <math>\!\,d(a_n,b_n) \leleq diamA\operatorname{diam}(A)</math> לכל <math>\!\,n</math>. לכן נקבל <math>\!\,d(a,b) \leleq diamA\operatorname{diam}(A)</math>, וזאת לכל <math>\!\,a,b \isinin Cl(\bar{A)}</math>, כלומר <math>\!\,diamCloperatorname{diam}(\bar{A}) \leleq diamA\operatorname{diam}(A)</math>, וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון <math>\!\,operatorname{diam }(A) =diam Cl\operatorname{diam}(\bar{A})</math> המבוקש.
 
כעת, מכיוון ש<math>\!\,x_n</math> סדרת קושי, הרי שלכל <math>\!\,\epsilon>0</math> קיים <math>\!\,N</math> כך שלכל <math>\!\,m \gegeq N</math> מתקיים <math>\!\,d(x_N,x_m) < \epsilon</math>. לכן <math>\!\,operatorname{diam \left}(\{x_k|k\gegeq N\right\}) < \epsilon</math>, ולכן <math>\!\,operatorname{diam }(A_n) =diam Cl\leftoperatorname{diam}(\leftoverline{\{x_k| \mid k \gegeq N\right\}\right}) < \epsilon</math>, וקיבלנו <math>\!\,\lim_{n \rarrto \infty}diam \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>.
 
כעת הראינו כי הסדרה <math>\!\,A_n</math> מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן <math>\!\,\bigcap_n A_n \neneq \emptyset</math>. יהא <math>\!\,x \isinin \bigcap_n A_n</math>, אז לכל <math>\!\,n</math> מתקיים <math>\!\,x \isinin A_n</math>, ולכן <math>\!\,d(x,x_n) \leleq \operatorname{diam }(A_n) \rarrto 0</math>, כלומר <math>\!\,x_n \rarrto x</math>, והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.
 
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
5,536

עריכות