משפט החיתוך של קנטור – הבדלי גרסאות

(←‏חיתוך של סדרות יורדות במרחב שלם: שיפור הנראות של הנוסחאות)
 
 
לכל איבר <math>\!\,x_n</math> בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>A_n = \overline{\{x_m| \mid m\ge n\}}</math> - [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]] של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר <math>\!\,x_n</math>. זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים <math>A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\dots</math> וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות.
 
אנו רוצים להוכיח כי <math>\lim_{n \to\infty} \operatorname{diam}(A_n) = 0</math>. לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה <math>\!\,A</math> מתקיים <math>\operatorname{diam}(A) = \operatorname{diam}(\bar{A})</math>. ברור כי <math>\operatorname{diam}(A) \leq \operatorname{diam}(\bar{A})</math> (כי <math>\bar{A}</math> מכילה את <math>A</math>).
5,536

עריכות