עץ פיתגורס – הבדלי גרסאות

נוספו 12 בתים ,  לפני שנתיים
מ
הגהה, עריכת נוסחאות
(SVG)
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
 
== בנייה ==
כמו פרקטלים רבים עץ פיתגורס מתקבל מבנייה בת אינסוף שלבים. בשלב האפס מתחילים עם ריבוע עם צלע באורך 1. בשלב הראשון בונים שני ריבועים זהים כך שהם יוצרים משולש ישר-זווית [[משולש שווה-שוקיים|שווה-שוקיים]] עם צלע הריבוע ההתחלתי. בהתאם למשפט פיתגורס אורך הצלע של כל אחד מן הריבועים הללו הוא <math>\ \tfrac{1}{\sqrt2}</math>. בשלב השני בונים על גבי כל אחד מן הריבועים האלו שני ריבועים זהים באותו אופן בדיוק ומתקבל שאורך הצלע של כל אחד מן הריבועים החדשים הוא <math>\ \tfrac{1}{2}</math>. ובאופן כללי בשלב ה-<math>n</math>-י בונים 2<supmath>2^n</supmath> ריבועים על הצלע של 2<supmath>2^{n-1}</supmath> הריבועים שנבנו בשלב הקודם, כאשר לכל אחד מהם צלע באורך <math>\ {\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right)}^n</math>. עץ פיתגורס מתקבל מחזרה על התהליך אינסוף פעמים.
 
{|align="center"
== תכונות ==
* עץ פיתגורס הוא פרקטל בעל [[דמיון (גאומטריה)|דמיון]] עצמי בכל קנה מידה. כל ריבוע בעץ פיתגורס יוצר גרסה מוקטנת של עץ פיתגורס בעצמו.
* עץ פיתגורס הוא עצם דו-ממדי. הוא מורכב משני עותקים של עצמו שכווצו בפקטור <math>\ \tfrac{1}{\sqrt2}</math>. לכן ה[[ממד פרקטלי|ממד הפרקטלי]] שלו הוא <math>\ \tfrac{\log{(2)}}{\log{(\sqrt2})} = 2</math>.
* עץ פיתגורס כלוא בתוך [[מלבן]] בגודל {{משמאל לימין|6×4}}.
* לפי משפט פיתגורס סכום ה[[שטח]]ים של שני הריבועים הנבנים על כל ריבוע, שווה לשטח הריבוע עליו הם נבנים. מכיוון שהשטח של הריבוע התחילי הוא 1 נובע מכך ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] (או באופן ישיר - בכל שלב נוספים 2<supmath>2^n</supmath> ריבועים ששטחם <math>\ {\left(\tfrac{1}{2}\right)}^n</math>) כי בכל שלב נוסף שטח השווה ל-1, ולכן לכאורה שטחו של עץ פיתגורס אינסופי. אולם למעשה החל מהשלב החמישי בבנייתו, עץ פיתגורס מתחיל לחפוף את עצמו וריבועים נוצרים על גבי ריבועים קיימים. מכיוון שעץ פיתגורס כלוא בתוך מלבן {{משמאל לימין|6×4}} בהכרח שטחו קטן מ-24. חסם טוב יותר על שטחו של העץ קובע כי שטחו של העץ הוא בין 8 ל-15. ניתן להציג חסמים טובים יותר אך הערך המדויק של השטח אינו ידוע.
 
== הכללה ==