סדרה מדויקת – הבדלי גרסאות

ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[אלגברה הומולוגית]], '''סדרה מדויקת''' היא [[סדרה]] מהצורה <math>\ \cdots A_i \stackrel{f_{i}}{\rightarrow} A_{i+1} \stackrel{f_{i+1}}{\rightarrow} A_{i+2} \cdots</math>, שבה כל הרכבה <math>\ f_{i+1}\circ f_i</math> שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של כל [[הומומורפיזם]] שווה ל[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] של ההומומורפיזם שבא אחריו.

המבנים <math>\ A_i</math> יכולים להיות [[מודול (מבנה אלגברי)|מודולים]], [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], או כל [[קטגוריה (מתמטיקה)|אובייקט]] אחר ב[[קטגוריה אבלית]].

נניח שנתונה סדרה (סופית או [[אינסוף|אינסופית]]) של מבנים אלגבריים <math>\,G_i</math> ביחד עם אוסף של [[הומומורפיזם|הומומורפיזמים]] של חבורות <math>\,f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}</math>.

נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב -<math>\,G_i</math> אם מתקיים השוויון <math>\,\mbox{Im} f_{i-1} = \ker f_i</math>.

הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב -<math>\,G_i</math> לכל <math>i</math>.

* הסדרה <math>\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B </math> מדויקת אם ורק אם <math>f</math> הוא [[שיכון (מתמטיקה)|מונומורפיזם]].

* הסדרה <math> A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0</math> מדויקת אם ורק אם <math>f</math> הוא [[פונקציה על|אפימורפיזם]].

* ביחד, הסדרה <math>\ 0 \rightarrow A \stackrel{f}{\rightarrow} B \rightarrow 0</math> היא מדויקת, אם ורק אם <math>f</math> הוא [[איזומורפיזם]].

: <math>\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0</math>.

סדרה כזו, הקרויה '''סדרה מדויקת קצרה''', כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של <math>H</math> ב-<math>G</math>, והטלה מ-<math>G</math> על <math>N</math>, שה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] שלה הוא <math>H</math>. לפי [[משפט האיזומורפיזם הראשון]], אם הסדרה מדויקת ב-<math>G</math>, בהכרח <math>\,G/H \cong N</math> - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש-<math>N</math> איזומורפי ל[[קו-גרעין (מתמטיקה)|קו-גרעין]] של <math>i : H \hookrightarrow G</math>, שהוא <math>\mathrm{coker}(i) = G/\mathrm{Im}(i)</math>.

: <math>\,0 \longrightarrow H \stackrel{i}{\longrightarrow} G \stackrel{p}{\longrightarrow} N \longrightarrow 0</math>.

כאשר ההעתקה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל -<math>\mathbb{Z}</math> היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ-<math>\mathbb{Z}</math> ל -<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> היא העתקת המנה.

בהינתן [[פונקטור]] (קו-וריאנטי) אדיטיבי <math>\,F:A\rightarrow B</math> בין שתי קטגוריות אבליות, הפונקטור <math>\,F</math> נקרא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, <math>\,F</math> הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת <math>\, \dots \rightarrow A_i \rightarrow A_{i+1} \rightarrow A_{i+2} \rightarrow \dots</math> הסדרה <math>\, \dots \rightarrow FA_i \rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2} \rightarrow \dots</math> המתקבלת לאחר הפעלת <math>\,F</math> גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות [[פונקטור נגזר|פונקטורים נגזרים]].