גרף קיילי – הבדלי גרסאות

[[קובץ:A4_Cayley_graph.png|שמאל|ממוזער|300px|גרף קיילי של [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_4</math>, עם יוצרים מסדר 2 (אדום) ו-3 (כחול)]]

הגרף אינו מוגדר עבור חבורה <math>G</math> בפני עצמה, אלא רק ביחס לקבוצת יוצרים שלה, <math>S</math>. '''גרף קיילי''' של <math>G</math> ביחס ל-<math>S</math> הוא הגרף שקודקודיו הם אברי החבורה, ולכל יוצר <math>\ s\in S</math> יש בו קשת בצבע <math>s</math> מכל קודקוד <math>\ g\in G</math> למכפלה <math>\ gs</math>. באופן הזה מתקבל [[גרף רגולרי|גרף מכוון רגולרי]]: מכל קודקוד יוצאות ונכנסות בדיוק <math>|S|</math> קשתות. באיור משמאל מוצג גרף קיילי של החבורה <math>\ A_4</math> ביחס ליוצרים <math>\ a=(12)(34)</math>, באדום, ו- <math>\ b=(123)</math>, בכחול. מקובל להשמיט את הכיוונים עבור היוצרים מסדר 2, כפי שעשינו לעיל.

בחבורות קטנות הגרף מאפשר לבצע חישובים במהירות. בגרף שלנו אפשר לחשב כי <math>\ (ab)^3=e</math>, משום שאם יוצאים מאיבר היחידה וצועדים בכיוון אדום-כחול-אדום-כחול-אדום-כחול, חוזרים לנקודת ההתחלה. אותה תוצאה נקבל מכל נקודת התחלה, דבר המדגים את מידת ה[[סימטריה]] של הגרף. אכן, [[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] של גרף קיילי צבוע היא בדיוק החבורה שאותה הוא מתאר. על הגרף אפשר להגדיר את '''מטריקת המלה''', שלפיה המרחק מקודקוד <math>g</math> לקודקוד <math>h</math> שווה למספר הקטן ביותר של יוצרים (והאיברים ההפוכים להם) הדרוש לכתיבת היחס <math>\ g^{-1}h</math>.

אפשר להפוך את הגרף ל[[מרחב גאודזי]], אם מתאימים כל קשת <math>\ g \mapsto gs</math> ל[[קטע (מתמטיקה)|קטע היחידה]] <math>\ [0,1]</math> (עם המטריקה הרגילה עליו). באופן הזה, כל גרפי קיילי של חבורה נוצרת סופית <math>G</math> (ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית) הם [[קוואזי-איזומטריה|קוואזי-איזומטריים]] זה לזה, וכך מתקבל העקרון היסודי של [[תורת החבורות הגאומטרית]]: גרף קיילי הוא אינווריאנט קוואזי-איזומטרי של החבורה. לפי '''הלמה של שוורץ-מילנור''', <!-- <math>\v{S}</math>varc-Milnor Lemma --> כל מרחב גאודזי סימטרי די הצורך הוא גרף קיילי, במובן הבא: אם חבורה <math>G</math> פועלת על [[מרחב גאודזי]] <math>X</math> כחבורה של [[איזומטריה|איזומטריות]], באופן שהמרחב אינו גדול מדי (ה[[מרחב מנה|מנה]] <math>\ X/G</math> קומפקטית) ואינו קטן מדי (לכל [[קבוצה קומפקטית]] <math>\ K\subset X</math>, הקבוצה <math>\ \{g\in G: g(K) \cap K \neq \emptyset\}</math> סופית), אז <math>X</math> קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של <math>G</math> (על ידי ההתאמה <math>\ g \mapsto gx</math>, כאשר <math>\ x\in X</math> נקודה קבועה). לדוגמה, אם <math>M</math> הוא [[יריעת רימן]] [[מרחב פשוט קשר|פשוטת קשר]] אז כל [[סריג (תורת החבורות)|סריג קו-קומפקטי]] בחבורת האיזומטריות של <math>M</math> (לחלופין, ה[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של כל יריעת רימן קומפקטית ש-<math>M</math> הוא [[מרחב כיסוי#מרחב הכיסוי האוניברסלי|מרחב הכיסוי האוניברסלי]] שלה) הוא קוואזי-איזומטרי ל-<math>M</math>.

מרחבי פונקציות המוגדרים על חבורה <math>G</math> מרחבים לתורת החבורות טכניקות אנליטיות שונות ומגוונות. הדוגמה החשובה ביותר היא מרחב הפונקציות האינטגרביליות-בריבוע, <math>\ L^2(G)</math>, שהוא אובייקט יסודי ב[[תורת ההצגות]]. בעוד שמרחב זה תלוי בחבורה בלבד, אפשר לתאר גם מרחבים התלויים בקבוצת היוצרים, כגון מרחב פונקציות הרמוניות (הערך בנקודה הוא ממוצע השכנים), פונקציות המקיימות את [[תנאי ליפשיץ]] או בעלות גידול פולינומי, וכדומה. ראו למשל [[תכונת ליוביל]].