העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

נוספו 7 בתים ,  לפני שנתיים
הגהה, עריכת נוסחאות
(הגהה, עריכת נוסחאות)
העתקה בין מרחבים מממד סופי אפשר לתאר באמצעות [[מטריצה]]; כל מטריצה מתארת באופן חד-משמעי העתקה ליניארית, וכל העתקה ליניארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בווקטור במרחב (באופן פורמלי: מרחב ההעתקות ומרחב המטריצות [[איזומורפיזם|איזומורפיים]]). תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, להסתכל על העתקות ליניארית כמטריצות ולהקיש לגבי תכונות משותפות.
 
להעתקה ליניארית ממרחב <math>\ V</math> אל עצמו, כלומר <math>\ T:V \rightarrow V</math>, נהוג לעיתים לקרוא '''[[אופרטור]] ליניארי''', אך המושג אופרטור ליניארי משמש גם לתיאור העתקה ליניארית כלשהי.
 
== הגדרה ==
העתקה <math>\ T</math> ממרחב וקטורי <math>\ V</math> אל מרחב וקטורי <math>\ W</math> (מסמנים <math>\ T:V \rightarrow W</math>) תקרא '''העתקה ליניארית''' או '''טרנספורמציה ליניארית''', אם מתקיימים התנאים הבאים:
:# '''<math>\ T</math>''' '''משמרת חיבור ([[פונקציה אדיטיבית|אדיטיביות]])''': לכל שני [[וקטור (אלגברה)|וקטורים]] <math>\ v,u</math> השייכים למרחב <math>\ V</math> מתקיים: <math>\ T(v+u)=T(v)+T(u)</math>
:# <math>\ T</math> '''משמרת כפל בסקלר ([[פונקציה הומוגנית|הומוגניות]])''': לכל וקטור <math>\ v</math> השייך למרחב <math>\ V</math>, ולכל [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] <math>\ \alpha</math> השייך לשדה מתקיים: <math>\ T(\alpha v)=\alpha T(v)</math>
משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה <math>\ T</math> (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים <math>\ v,u</math> ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה <math>\ T</math> על התוצאה של כפל הווקטור <math>\ v</math> בסקלר <math>\ \alpha</math>, או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור <math>\ v</math> ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר <math>\ \alpha</math> - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הליניאריות.
 
מההגדרה נובעת התכונה הכללית:
 
== דוגמאות ==
* אם <math> \ A</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math> \ m \times n </math>, אז <math> \ A</math> מגדירה העתקה ליניארית <math>T_A : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</math> מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב <math> \mathbb R ^n </math> על ידי [[כפל מטריצות]] מימין: <math>T_A(\vec{x}) = A\vec{x}</math> זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי בדרך זו.
* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbol{0}:V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>n</math> (כלומר: בגודל <math>n \times n</math>).
* ההעתקה <math>T_A : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> עם <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math> היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-<math>x</math> בעוד את ציר ה-<math>y</math> היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: <math display="block">\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x \\ y \end{bmatrix}</math> ולכן <math>T_A(x,y) = (2x,y)</math>. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.
* [[מטריצת סיבוב|טרנספורמציות סיבוב]] ו[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] הן טרנספורמציות ליניאריות. לדוגמה, ב-<math> \mathbb R ^2</math>, הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה -<math>\,x</math> היא טרנספורמצייה ליניארית.
* [[נגזרת|גזירה]] היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אינסופי).
* פונקציה <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> היא העתקה ליניארית [[אם ורק אם]] היא מהצורה <math>f(x)=\alpha x</math> באשר <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>. נשים לב שפונקציה ליניארית (כלומר: כזאת המתארת [[קו ישר]] ב[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]]) <math>g(x) = \alpha x + \beta</math> היא העתקה ליניארית אם ורק אם <math>\beta = 0</math>. קל לראות ש-<math>g</math> לא מעבירה 0 ל-0 (תנאי הכרחי להעתקה ליניארית) אך ניתן להוכיח זאת גם באופן יותר מפורש: נניח ש-<math>\beta \ne 0</math> ונראה ש-<math>g</math> לא מקיימת אדיטיביות (ליניאריות): <math display="block">2\alpha+\beta=g(2) = g(1+1) \ne g(1)+g(1) = (\alpha + \beta) + (\alpha + \beta) = 2\alpha + 2\beta</math> פונקציה <math>g</math> כזאת נקראת [[העתקה אפינית]].
 
 
 
== סוגי העתקות ליניאריות ==
יהיו <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> מרחבים וקטוריים מעל שדה כלשהו <math>\ F</math>, ו-<math>\ T</math> העתקה ליניארית מ-<math>\ V</math> ל-<math>\ W</math>.
 
* נאמר ש-<math>T</math> היא [[הומומורפיזם]] (של מרחבים וקטוריים) אם <math>T</math> היא העתקה ליניארית.
* נאמר ש-<math>T</math> היא [[איזומורפיזם]] אם <math>T</math> היא חח"ע ועל.
 
אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math>, אזי 3 התכונות הללו שקולות זו לזו. אומרים כי המרחב הווקטורי ''<math>V</math>'' הוא [[מרחב הופפיאני|הופפיאני]] ו[[מרחב קו-הופפיאני|קו-הופפיאני]]{{הבהרה}}.
 
==מרחב ההעתקות הליניאריות==
אוסף כל ההעתקות הליניאריות מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> מהווה בעצמו מרחב וקטורי מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] <math>\ m \cdot n </math>. על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות ליניאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם <math> \ T_1,T_2</math> הן העתקות ליניאריות מ-<math> \mathbb{R} ^n </math> ל-<math> \mathbb{R}^m </math>, ו -<math> \ \alpha </math> הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:
* <math> \ (T_1+T_2)(v) = T_1(v) +T_2(v) </math>
* <math> (\alpha T_1)(v) = \alpha \cdot T_1(v) </math>
וקטור האפס הוא טרנספורמציית האפס.
 
המרחב הווקטורי של כל ההעתקות ממרחב וקטורי <math>V</math> למרחב וקטורי <math>W</math> מסומן <math>\operatorname{Hom}(V,W)</math>. אם <math>V=\mathbb{R}^n, \ W=\mathbb{R}^m</math> אז <math display="block">\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m) \simeq \mathbb{R}^{m \times n} = M_{m \times n}(\mathbb{R})</math> כלומר: מרחב הווקטורי של כל ההעתקות הליניאריות [[איזומורפיזם|איזומורפי]] למרחב המטריצות עם <math>m</math> שורות ו-<math>n</math> עמודות.
 
==גרעין ותמונה של העתקה ליניארית==
תהי טרנספורמציה ליניארית <math>\ T: V \to W</math>.
 
ה[[גרעין (מתמטיקה)|גרעין]] של <math>\ T</math>, המסומן <math>\ \ker(T)</math> (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב<math>\ V</math> שהטרנספורמציה מעבירה לווקטור ה-<math>\ 0</math> של <math>\ W</math>. כלומר:
<math display="inline"> \ \ker (T) = \{v \in V | T(v) = 0 \} </math>
משימוש בתכונות הטרנספורמציה הליניארית קל לראות כי הגרעין הוא [[מרחב וקטורי]] חלקי (תת-מרחב) ל-<math>V</math> - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.
 
ה[[תמונה (מתמטיקה)|תמונה]] של <math>T</math>, המסומנת <math>\ \operatorname{Im}(T)</math> (מהמילה Image - תמונה)
היא קבוצה המכילה את כל איברי <math>W</math> שקיים להם מקור ב-<math>V</math>, כלומר:
<math display="block"> \ \operatorname{Im} (T) = \{w \in W \mid \exist v \in V : w = T(v) \} = \{ T(v) \mid v \in V \} = T(V) </math>
תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי:{{ש}}{{ש}}
 
'''משפט הממד''': לכל מרחב <math>\ V</math> מממד סופי ולכל טרנספורמציה ליניארית <math>\ T:V \rightarrow W</math> מתקיים:
<div style="text-align: center;">
<math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))=\dim(V)</math>.
</div>
 
נשים לב כי בנוסחה אין תלות כלל בממד של הטווח <math>\ W</math>, אלא רק בממד של התחום <math>\ V</math>, אך מן המשפט נובע שיש קשר בין ממד הגרעין וממד התמונה, לממד התחום וממד הטווח:
<math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))\le \dim(W)</math> ולכן <math>\dim(\ker(T))\ge \dim(V)-\dim(W)</math>
 
{{טבלה מוסתרת|כותרת=הוכחה|לא מוסתר=כן|תוכן=יהיו <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> ה[[בסיס_(אלגברה)|בסיס]] של <math>\ker(T) </math> ויהיו <math> \{ \ u_1,..., \ u_m \} </math> וקטורים כך ש-<math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> מהווים בסיס ל-<math>\operatorname{Im}(T)</math>
 
יהיוצ"ל: <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> ה[[בסיס_(אלגברה)|בסיס]] של <math> \ \ker(T) </math> ויהיו <math> \{ \ u_1,..., \ u_m \} </math> וקטורים כך ש- <math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> מהוויםמהווה בסיס ל -<math>\ \operatorname{Im}(T)V</math>.
 
צנראה כי הקבוצה [[תלות ליניארית|בת]] (בלתי תלויה ליניארית): יהיו <math> \{\ v_1a_1,..., \ v_na_n, \ u_1b_1,..., \ u_mb_m \}</math> מהווהסקלרים בסיסכך לש-''V''.
 
נראה כי הקבוצה [[תלות ליניארית|בת"ל]] (בלתי תלויה ליניארית): יהיו <math> \ a_1,...,\ a_n,\ b_1,...,\ b_m </math> סקלרים כך ש-
<math>\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V</math>
 
<math>0_W = \ T (0_V) = \ T (\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}) = \sum_{i=1}^{n}{ a_i \ T (v_i)} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)} = 0 + \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)} = \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)} </math>
 
לכן, כיוון ש- <math> \{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \} </math> בת"ל, לכל <math>\ j</math> מתקיים <math>\ b_j = 0</math>
 
נציב ב-<math>\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V</math> ונקבל כי
<math> 0_V = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}</math>
 
וכיוון ש- <math> \{ \ v_1,..., \ v_n \} </math> בת"ל נקבל כי לכל <math>\ i</math> מתקיים כי <math>\ a_i = 0</math>
 
כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה <math> \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}</math> שווה <math>\ 0_V</math> ולכן הקבוצה בת”ל מעל ''<math>F''</math>.
 
נראה כי הקבוצה [[קבוצה פורשת|פורשת]]: יהי <math>\vec v \in \ V</math>, מתקיים <math>\ T(\vec v) \in \ \operatorname{Im}(T)</math> לכן, קיימים סקלרים <math>\ b_1,...,\ b_m </math> כך ש- <math>\sum_{j=1}^{m}{ b_j T (u_j)} = \ T (\vec v)</math>.
 
נעביר אגפים ונקבל כי
<math> \vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} \in \ \ker(T) </math>
 
לכן, קיימים סקלרים <math> \ a_1,..., \ a_n </math> כך ש-<math> \vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}</math> ולכן
<math> \vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}</math> ולכן
<math>\vec v = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}</math>
 
ולכן הקבוצה <math> \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}</math> פורשת את ''<math>V''</math>.
 
לכן הקבוצה <math> \{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}</math> מהווה בסיס עבור ''<math>V''</math> ולכן מתקיים
<math>\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))= \ n + \ m =\dim(V)</math>.
'''מ.ש.ל.'''}}
}}
 
== מטריצה מייצגת של העתקה ליניארית ==
יהיו <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> מרחבים וקטורים מממד סופי מעל שדה כלשהו <math>\ F</math>, ו-<math>T : V \to W</math> העתקה ליניארית מ-<math>\ V</math> ל-<math>\ W</math>. נקבע <math>B = \{v_1,...,v_n\}</math> בסיס של <math>V</math> ו-<math>C = \{w_1,...,w_m\}</math> בסיס של <math>W</math>. לכל וקטור ב-<math>V</math> ניתן להתאים את [[וקטור קואורדינטות|וקטור הקואורדינטות]] שלו לפי הבסיס B, {{כ}}<math>V \ni v \mapsto [v]_B \in \mathbb{R}^n</math> ובאופן דומה <math>W \ni w \mapsto [w]_C \in \mathbb{R}^m</math>.
 
נגדיר את [[מטריצה מייצגת|המטריצה המייצגת]] של <math>T</math> ביחס לבסיסים <math>B</math> ו-<math>C</math>, שתסומן <math> {[T]^{B}_{C}} \in F^{m\times n}</math> כמטריצה שמקיימת את הקשר הבא:
=== תכונות===
 
* נסמן ב -<math>B'</math> בסיס נוסף של <math> V</math> וב-<math>C'</math> בסיס נוסף של <math>W</math>. נסמן ב-<math> M^B_{B'}</math>את [[מטריצת מעבר|מטריצת המעבר]] מבסיס <math>B</math> לבסיס <math>B'</math> וב-<math> M^C_{C'}</math> את מטריצת המעבר מבסיס <math>C</math> לבסיס <math>C'</math>. אזי <math>[T]^{B'}_{C'} = M_{C'}^C [T]_C^B M^{B'}_B</math> כאשר <math>M^{B'}_B = \left( M_{B'}^B \right)^{-1}</math>.
 
* יהי <math> U</math> מרחב וקטורי נוסף מעל <math>F</math> עם בסיס <math>D</math> ותהי <math> S: W \rightarrow U</math> העתקה ליניארית נוספת. אזי <math>[S \circ T]^B_D = [S]_D^C [T]_C^B</math>
* <math>\operatorname{Im}(T^*) = (\ker(T))^0</math>.
*<math>T</math> חח"ע אם ורק אם <math>T^*</math> על.
* <math>T^*</math> חח"ע אם ורק אם <math>\ T</math> על.
* יהי <math>B</math> בסיס ל-<math>V</math> ו-<math>C</math> בסיס ל-<math>W</math>. נסמן ב-<math> B^*</math> וב-<math> C^*</math> בסיסים דואליים ל-<math> B</math> ו-<math> C</math> בהתאמה. אזי: <math> {[T^*]^{C^*}_{B^*}} = ({[T^*]^B_C})^t</math>.
* נסמן ב-<math> C_V</math> וב-<math> C_W</math> את [https://math.stackexchange.com/questions/51283/canonical-isomorphism-between-vector-spaces האיזומורפיזמים הקנוניים] של <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> בהתאמה. נגדיר: <math> T^{**} := (T^*)^*
</math>. אז מתקיים: <math> T^{**}\circ C_V = C_W\circ T</math>.