משפט הקטגוריה של בייר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד |
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
||
שורה 9:
==הוכחת המשפט==
נניח ש-<math>
נסתכל על קבוצה פתוחה <math>
נבנה סדרה של <math>
# <math>
# <math>\overline {B(x_i,r_i)} \subseteq \overline {B(x_{i-1},r_{i-1})}</math>
# <math>
מהתנאי השני, מקבלים סדרת [[כדור_(טופולוגיה)|כדורים סגורים]], כאשר כל כדור מכיל את כל הכדורים אחריו בסדרה. התנאי הראשון ידאג לכך שהחיתוך של כל הכדורים יהיה זר ל
נראה ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] כיצד בונים את הסדרה:
מאחר ש-<math>
הקבוצה <math>U\cap A_1 ^c</math> היא פתוחה לכן קיים <math>
נניח שמצאנו את <math>
הקבוצה <math>
<math display="block">B(x_{n+1},2r_{n+1})\subseteq \left( B(x_{n},r_{n})\cap A_{n+1} ^c \right) \subseteq U\cap K_{n+1} ^c</math> ולכן גם <math>\overline {B(x_{n+1},r_{n+1})} \subseteq \overline {B(x_{n},r_{n})}</math>.
בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח כי <math>
הסדרה <math>
לכל <math>
<math display="block">x\in \bigcap_n \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap \left(\bigcap_n K_n ^c \right) = U \cap \left( \bigcup_n K_n \right)^c = U\cap A^c</math>
קיבלנו ש-<math>
==מסקנות מן המשפט==
שורה 41:
* במרחב [[רציפות|הפונקציות הרציפות]] עם [[מטריקה|מטריקת]] המקסימום, אוסף הפונקציות [[נגזרת|הגזירות]] בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, [[כמעט כל#הכול פרט לקבוצה דלילה|כמעט כל]] הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה ל[[פונקציית ויירשטראס|פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה]] ניתנה על ידי [[קארל ויירשטראס|ויירשטראס]] בשנת [[1872]].
* [[עקרון החסימות במידה שווה]].
* קבוצת הנקודות ה[[מספר רציונלי|רציונליות]] על הישר הממשי אינה קבוצת <math>
* אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות ([[פונקציית רימן]] מקיימת את המקרה ההפוך).
* [[סדרת פונקציות]] רציפות ש[[התכנסות נקודתית|מתכנסת נקודתית]] מתכנסת לפונקציה רציפה [[כמעט בכל מקום]] (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).
|