משפט הקטגוריה של בייר – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Shaferjo (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
תגיות: עריכה חזותית עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 9:
 
==הוכחת המשפט==
נניח ש-<math>\ X</math> מרחב מטרי שלם ו-<math>\ A_n</math> קבוצות דלילות, [[בלי הגבלת הכלליות]] אפשר להניח שהן סגורות (אחרת ניתן להסתכל על הסגור). כדי להראות ש -<math>A=\bigcup A_n</math> עם פנים ריק, מספיק להראות שלכל קבוצה פתוחה <math>U\subseteq X</math> קיימת נקודה שאינה ב-<math>\ A</math>, כלומר <math>U\cap A^c \neq \emptyset</math>.
 
נסתכל על קבוצה פתוחה <math>\ U</math> כלשהי. נסמן <math>K_n = \bigcup_{i=1}^n A_i</math>.
נבנה סדרה של <math>\ x_i \in X</math> ו-<math>\ r_i>0</math> המקיימים:
# <math>\ \overline {B(x_i,r_i)}\subseteq U\cap K_i ^c</math>
# <math>\overline {B(x_i,r_i)} \subseteq \overline {B(x_{i-1},r_{i-1})}</math>
# <math>\ 2r_i < r_{i-1}</math>
 
מהתנאי השני, מקבלים סדרת [[כדור_(טופולוגיה)|כדורים סגורים]], כאשר כל כדור מכיל את כל הכדורים אחריו בסדרה. התנאי הראשון ידאג לכך שהחיתוך של כל הכדורים יהיה זר ל -<math>A</math>. התנאי השלישי יגרום לכך שהקוטר של הכדורים ישאף לאפס, ואז יהיה ניתן להפעיל את [[משפט החיתוך של קנטור]], כדי להראות שהחיתוך לא ריק - פה משתמשים בעובדה שהמרחב שלם.
 
נראה ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] כיצד בונים את הסדרה:
 
מאחר ש-<math>\ A_1</math> דלילה אז קיימת נקודה <math>x_1 \in U\cap A_1^c</math>.
הקבוצה <math>U\cap A_1 ^c</math> היא פתוחה לכן קיים <math>\ r_1>0</math> כך ש-<math>B(x_1,2r_1)\subseteq U\cap A_1 ^c</math>. עתה מקבלים כי <math>\ \overline {B(x_1,r_1)}\subseteq U\cap A_1 ^c</math>.
 
נניח שמצאנו את <math>\ n</math> הנקודות הראשונות בסדרה.
 
הקבוצה <math>\ B(x_n, r_n)</math> היא קבוצה פתוחה ולכן, משום ש-<math>\ A_{n+1}</math> סגורה ודלילה, קיימים <math>\ x_{n+1}\in X</math> ו-<math>\ r_{n+1}>0</math> כך ש
<math display="block">B(x_{n+1},2r_{n+1})\subseteq \left( B(x_{n},r_{n})\cap A_{n+1} ^c \right) \subseteq U\cap K_{n+1} ^c</math> ולכן גם <math>\overline {B(x_{n+1},r_{n+1})} \subseteq \overline {B(x_{n},r_{n})}</math>.
 
בלי הגבלת הכלליות אפשר להניח כי <math>\ r_1<\frac{1}{2}</math> ואז מבניית הסדרות מקבלים ש -<math>\ r_n<2^{-n}</math>.
 
הסדרה <math>\ (x_1,x_2,x_3,\dots)</math> היא [[סדרת קושי]] וזאת מאחר שאם <math>\ n>m</math> אז <math>x_n ,x_m \in B(x_m, r_m)</math> ומכאן מקבלים ש-<math>\ \|x_n - x_m\|< 2r_m < 2 \cdot 2^{-m}</math>. המרחב <math>\ X</math> הוא שלם ולכן הסדרה מתכנסת לגבול <math>\ x</math>.
 
לכל <math>\ n</math>, זנב הסדרה החל מהאיבר ה-<math>\ n</math>-י מוכל ב-<math>\overline {B(x_n,r_n)}</math> שזו קבוצה סגורה ולכן <math>\ x \in \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap K_n ^c </math> לכל <math>\ n</math>, ולכן
<math display="block">x\in \bigcap_n \overline {B(x_n,r_n)} \subseteq U \cap \left(\bigcap_n K_n ^c \right) = U \cap \left( \bigcup_n K_n \right)^c = U\cap A^c</math>
קיבלנו ש-<math>\ U\cap A^c \neq \emptyset</math> לכל קבוצה פתוחה <math>\ U</math>, ולכן <math>\ A</math> היא בעלת פנים ריק.
 
==מסקנות מן המשפט==
שורה 41:
* במרחב [[רציפות|הפונקציות הרציפות]] עם [[מטריקה|מטריקת]] המקסימום, אוסף הפונקציות [[נגזרת|הגזירות]] בנקודה אחת לפחות הוא קבוצה מקטגוריה ראשונה. מכאן, [[כמעט כל#הכול פרט לקבוצה דלילה|כמעט כל]] הפונקציות הרציפות אינן גזירות אפילו בנקודה אחת. יש לשים לב שהמשפט אינו קונסטרוקטיבי, דהיינו, הוא אינו מראה כיצד בונים פונקציה כזו. דוגמה ראשונה ל[[פונקציית ויירשטראס|פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה]] ניתנה על ידי [[קארל ויירשטראס|ויירשטראס]] בשנת [[1872]].
* [[עקרון החסימות במידה שווה]].
* קבוצת הנקודות ה[[מספר רציונלי|רציונליות]] על הישר הממשי אינה קבוצת <math>\ G_\delta</math> (קבוצה הניתנת להצגה כ[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] בן מנייה של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]).
* אין פונקציה שרציפה בכל נקודה רציונלית ואינה רציפה באף נקודה אי-רציונליות ([[פונקציית רימן]] מקיימת את המקרה ההפוך).
* [[סדרת פונקציות]] רציפות ש[[התכנסות נקודתית|מתכנסת נקודתית]] מתכנסת לפונקציה רציפה [[כמעט בכל מקום]] (אינה רציפה בקבוצה מקטגוריה ראשונה).