זהות קפלי – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החוגים]], '''זהות קפלי''' היא הזהות <math> c_n=0</math>, כאשר <math> c_n = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) x_{\sigma(1)}y_1 x_{\sigma(2)}y_2 \cdots x_{\sigma(n)}y_n</math> הוא '''פולינום קפלי''' ב-<math>2n</math> משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ-<math>n</math> מקיימת את הזהות <math> c_n=0</math>. התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת ה[[חוג עם זהויות|חוגים עם זהויות]] ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי <math> c_n=0</math>, כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ-<math>n</math> משתנים{{הערה|Belov and Rowen, Computational Aspects of PIs, Theorem 6.8.2}}.

הזהות <math> c_n=0</math> נובעת מן הזהות <math> c_{n-1}=0</math>, כך שהתנאי <math> c_n=0</math> הולך ונעשה חלש כאשר <math>n</math> גדל. באלגברה עם יחידה <math> c_1\neq 0</math>, ו-<math> c_2=0</math> אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום <math>f</math> נקרא <math>n</math>'''n-מתחלף''' אם לכל <math> 1\leq i,j \leq n</math> מתקיים <math> f(...,x_i,...,x_j,...) = -f(...,x_j,...,x_i,...)</math>. פולינום קפלי ה-<math>n</math>-י הוא <math>n</math>-מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה-<math>n</math>-מתחלף הכללי ביותר: <math> c_n=0</math> היא זהות של האלגברה <math>A</math>, אם ורק אם כל פולינום <math>n</math>-מתחלף הוא זהות של <math>A</math>. לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית <math> s_n = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)x_{\sigma(1)}\cdots x_{\sigma(n)} </math> אפשר להסיק מהזהות <math> c_n </math> על ידי ההצבה <math> y_i \mapsto 1</math> (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות <math> M_n(F)</math> (מעל שדה <math>F</math>) מקיימת את זהות קפלי <math> c_{n^2+1}</math>, אבל לא את הזהות <math> c_{n^2}</math>. האלגברה <math> M_n(R)</math> מקיימת את <math> c_{n^2+1}</math> אם ורק אם <math>R</math> קומוטטיבי.

אם <math>A</math> אלגברה מעל שדה <math>F</math> ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים <math>\ \chi_n(A) = V_n / (V_n \cap \operatorname{id}(A))</math> (כאשר <math>\ V_n</math> הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים <math>\ x_1,\dots,x_n</math>), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות <math>\ S_n</math> על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה <math>A</math> מקיימת את זהות קפלי <math> c_m</math> אם ורק אם [[דיאגרמת יאנג]] של כל תת-הצגה אי-פריקה של <math>\ \chi_n(A)</math> היא בעלת פחות מ-m שורות.

קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. [[אלגברת גרסמן]] היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל <math>n</math> קיימת זהות קפלי <math> c_m</math> הנובעת מן הזהות הסטנדרטית <math> s_n</math>.