חבורה היפרבולית – הבדלי גרסאות

[[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] של חבורה נקראת '''הצגת דן''' (על-שם [[מקס דן]]), אם היחסים הם כולם מהצורה <math>\ a_i = b_i</math>, כאשר האורך של <math>\ b_i</math> (במונחי היוצרים) קטן משל <math>\ a_i</math>, וכל מילה שאינה מכילה אף <math>\ a_i</math> אינה מייצגת את האיבר ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלי]] של החבורה. בחבורה כזו, ההצגה נותנת אלגוריתם כמעט מפורש ל[[בעיית המילה]]: החלף כל הופעה של <math>\ a_i</math> ב- <math>\ b_i</math>, עד שאין יותר תת-מילים מהצורה <math>\ a_i</math>; האיבר הוא טריוויאלי [[אם ורק אם]] התהליך הסתיים במילה הריקה. בחבורה עם הצגה כזו, גם [[בעיית הצמידות]] פתירה.

חבורה נוצרת סופית המקיימת את [[תנאי הצמצום הזעיר]] <math>\ C'(1/6)</math>, או את התנאים <math>\ C'(1/4)</math> ו- <math>\ T(4)</math>, היא היפרבולית.

כל תת-חבורה ציקלית אינסופית של חבורה היפרבולית היא בעלת אינדקס סופי ב[[נורמליזטור]] שלה. בפרט, לחבורה היפרבולית לא יכולה להיות תת-חבורה מהצורה <math>\ \mathbb{Z}^2</math>.

תת-חבורה נוצרת סופית <math>H</math> של חבורה היפרבולית חסרת פיתול מקיימת את תכונת Hopf: כל [[אפימורפיזם]] <math>\ H \rightarrow H</math> הוא איזומורפיזם. השפה של חבורה היפרבולית (במובן של [[מרחב היפרבולי#השפה|מרחבים היפרבוליים]]) איזומורפית למעגל <math>\ S^1</math>, אם ורק אם החבורה [[חבורת פוקס|פוקסיאנית]].

[[טור הילברט]] <math>\ H_S(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n</math> של חבורה היפרבולית (<math>\ a_n</math> הוא מספר האיברים מאורך <math>n</math> בחבורה, ביחס לקבוצת יוצרים <math>S</math>) הוא [[פונקציה רציונלית]] במשתנה <math>t</math>.

אם <math>G</math> היפרבולית, כל [[חבורת הומולוגיה|חבורות ההומולוגיה]] <math>\ H_n(G,\mathbb{Z})</math> הן נוצרות סופית, ו[[כמעט כל]] החבורות <math>\ H_n(G,\mathbb{Q})</math> טריוויאליות. אם <math>G</math> [[חבורה חסרת פיתול|חסרת פיתול]], אז גם כמעט כל החבורות <math>\ H_n(G,\mathbb{Z})</math> הן טריוויאליות.