ויקיפדיה

G-מודול – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Matanyabot (שיחה | תרומות)
475,756 עריכות
מ בוט החלפות: \1ליניארי
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 1:
'''G-מודול''' הוא [[חבורה אבלית]] ''<math>M''</math> שעליה פועלת [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] ''<math>G''</math> באופן קומפטיבילי למבנה האבלי של ''<math>M</math>''.{{כ}} <math>G</math>-מודולים משמשים להגדרת [[קוהומולוגיה של חבורות]].
 
== הגדרה ==
 
תהי ''G'' [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] ותהי ''<math>M</math>'' [[חבורה אבלית]] כך ש-''<math>G</math>'' [[פעולת חבורה|פועלת]] של ''<math>M</math>'' משמאל, כלומר:
: <math>G \times M \to M \quad ; \quad (g,m) \mapsto g \cdot m</math>
כך ש-<math>1_G \cdot m = m</math> ולכל <math>g_1,g_2 \in G</math> ו-<math>m \in M</math> מתקיים <math>g_1 g_2 \cdot m = g_1 \cdot (g_2 \cdot m)</math>.
 
כדי ש-''<math>M</math>'' תהייה ''<math>G</math>''-מודול נדרוש שפעולת ''<math>G</math>'' מכבדת את המבנה החבורתי האבלי של ''<math>M</math>'', כלומר
: <math>\forall g \in G : \forall a,b \in M : g \cdot (a + b) = g \cdot a + g \cdot b</math>.
במקרה זה אנו אומרים ש-''<math>M</math>'' הוא ''' ''<math>G</math>''-מודול שמאלי'''. אם ''<math>G</math>'' פועלת על ''<math>M</math>'' מימין באופן דומה נקבל ''<math>G</math>''-מודול ימני. את קטגוריית ה-''<math>G</math>'' מודולים השמאליים מסמנים '''G-Mod''' ואת קטגוריית ה-''<math>G</math>''-מודולים הימניים מסמנים '''Mod-G'''. אלו הן [[קטגוריה אבלית|קטגוריות אבליות]].
 
== תכונות בסיסיות ==
 
<small>בסעיף זה נניח שכל ה-<math>G</math>-מודולים הם שמאליים. כל מה שנאמר כאן תקף גם ל-<math>G</math>-מודולים ימניים.</small>
 
העתקה ''<math>f'' : ''M''\rightarrow → ''N''</math> תיקרא '''מורפיזם של <math>G</math>-מודולים''' או '''העתקה <math>G</math>-ליניארית''' או '''<math>G</math>-הומומורפיזם''' אם היא שומרת על הפעולה של <math>G</math> (כלומר: G-equivariant). באופן מפורש:
: <math>f(a+b) = f(a)+f(b)</math> ו-<math>f(g \cdot m) = g \cdot f(m)</math>.
 
האוסף של ''<math>G</math>''-מודולים שמאליים והמורפיזמים שלהם יוצרים [[קטגוריה אבלית]] '''G-Mod'''. ניתן לזהות אותה עם [[חוג חבורה|חוג החבורה]] <math>\mathbb{Z}[G]</math>.
 
תת-<math>G</math>-מודול ''<math>A''</math> של <math>G</math>-מודול ''<math>M</math>'' הוא [[תת-חבורה]] ''<math>A''\subseteq ⊆ ''M''</math> כך ש-<math>G \cdot A \subseteq A</math>, כלומר ''<math>g''·''\cdot a'' ∈\in ''A''</math> לכל ''<math>g''\in ∈ ''G'' </math> ו- ''<math>a''\in ∈ ''A''</math>. במקרה כזה אפשר להגדיר את <math>G</math>-מודול המנה ''<math>M''/''A'' </math> כ[[חבורת מנה]] עם הפעולה ''<math>g''·\cdot (''m'' + ''A'') =g\cdot ''g''·''m'' + ''A''</math>.
 
== דוגמאות ==
 
* ''<math>G</math>'' חבורה כלשהי, <math>M=(\mathbb{Z},+)</math> ו-''<math>G</math>'' פועלת טריוויאלית על ''<math>M</math>'', כלומר: <math>g \cdot z = z</math>.
* <math>G = \mathbf{GL}_n(F)</math> [[החבורה הליניארית הכללית]] (<math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]) ו-<math>M = F^n</math> [[מרחב וקטורי]] מעל <math>F</math> מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] <math>n</math>.
* ''<math>G</math>'' ו-''<math>M</math>'' הן גם [[חבורה טופולוגית|חבורות טופולוגיות]]. במקרה זה דורשים שהפעולה של ''<math>G</math>'' על ''<math>M</math>'' תהיה גם [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]].
 
[[קטגוריה:אלגברה]]
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/G-מודול"