סדר (תורת החבורות) – הבדלי גרסאות

הסדר של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הוא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה, <math>|G|</math>, כלומר מספר האיברים אם החבורה סופית.

בהינתן חבורה <math>\,\! G</math> ואיבר כלשהו <math>\,\! g\isin G</math>, הסדר של <math>\,\! g</math> שמסומן <math>\,\! o(g)</math> הוא המעריך הטבעי הקטן ביותר <math>\,\!n</math> [[חזקה (מתמטיקה)|שבחזקתו]] איבר <math>\,\! g</math> שווה לאיבר היחידה של החבורה, כלומר: <math>\,\! g^n=e</math>. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של <math>\,\! g</math> הוא אינסופי, ונסמן <math>\,\! o(g)=\infty</math>. הסדר של איבר בחבורה הוא הסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] הנוצרת על ידי האיבר, ומכאן הקשר בין סדר של איבר לסדר של חבורה.

מסקנה מיידית ממשפט לגראנז' היא שהסדר של איבר בחבורה <math>G</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>. זאת מכיוון שהחבורה הציקלית שנוצרת על ידי האיבר היא תת-חבורה של <math>G</math> שסדרה כסדר האיבר. לכן לפי משפט לגראנז' סדר זה מחלק את הסדר של G.

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית <math>\,\! G</math>, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה שווה לאיבר היחידה. נראה זאת: יהא <math>\,\! g\isin G</math> כלשהו, אז קיים <math>k</math> שלם כך ש-<math>\,\! k\cdot o(g) = |G|</math> (כי הסדר של <math>\,\! g</math> מחלק את הסדר של <math>\,\! G</math>). על כן:

<math>\,\! g^{|G|}=g^{k\cdot o(g)}=\left(g^{o(g)}\right)^k=e^k=e</math>.

ל[[החבורה הסימטרית|חבורה הסימטרית]] S<submath>3S_3</submath> יש את לוח הכפל הבא:

בחבורה זו יש שישה איברים, כלומר הסדר של החבורה, <math>\,\! |S_3|</math>, הוא 6.{{ש}}

לפי הגדרה, הסדר, <math>\,\! o(e)</math>, של איבר היחידה, ''<math>e''</math>, הוא 1. הסדר של כל אחד מהאיברים ''<math>s'', ''t'', ''w''</math> הוא 2 (מכפלת כל אחד מאיברים אלה בעצמו היא איבר היחידה), והסדר של כל אחד מהאיברים ''<math>u'', ''v''</math> הוא 3.