מסלול אוילר – הבדלי גרסאות

אוילר הוכיח כי ב[[גרף קשיר]] קיים מעגל אוילר אם ורק אם יש בדיוק 0 צמתים בעלי [[דרגה (תורת הגרפים)|דרגה]] אי זוגית בגרף (כלומר, אין צומת שיוצא ממנו מספר אי זוגי של קשתות) וכי בגרף קיים מסלול אוילר אם ורק אם יש בדיוק 2 או 0 צמתים בעלי דרגה אי זוגית (במקרה של 0 צמתים בעלי דרגה אי זוגית מתקבל מעגל, משמע מעגל הוא מקרה פרטי של מסלול). בכל גרף עם מספר גדול יותר של צמתים בעלי דרגות אי זוגיות אין לא מסלול ולא מעגל אוילר (גרף בעל צומת אחד בעל דרגה אי זוגית לא יכול להתקיים מ[[למת לחיצות הידיים|למת לחיצת הידיים]]). ההוכחה המלאה הראשונה לטענות אלה התפרסמה על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל היירהולצר ב-[[1873]] (לאחר מותו){{הערה|1=[http://www.math.nmsu.edu/hist_projects/Euler-Barnett.pdf Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The K¨onigsberg Bridge Problem]}}.