פונקציית גמא – הבדלי גרסאות

dt -> \mathrm{d}t
מ (עיצוב)
תגית: עריכת קוד מקור 2017
(dt -> \mathrm{d}t)
הפונקציה הוגדרה לראשונה על ידי [[לאונרד אוילר]] באמצע המאה ה-18, אך הסימון של ה[[פונקציה]] באות <math>\ \Gamma</math> נכנס לשימוש בעקבות עבודתו של [[לז'נדר]]. [[גאוס]] הציע גרסה מעט שונה של פונקציית גמא, <math>\ \Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, לה הוא קרא "פונקציית פאי", אלא שהסימון של לז'נדר הועדף ב[[צרפת]], ובעקבות זאת גם בשאר העולם.
 
הפונקציה מוגדרת במחצית הימנית של המישור המרוכב באמצעות ה[[אינטגרל]] <math> \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt\mathrm{d}t</math>.
 
לפונקציית גמא [[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]] (פשוטים) בנקודות <math>\,z=0,-1,-2,\dots</math> בלבד, ואין לה שורשים. הפונקציה מקיימת את ה[[משוואה פונקציונלית|משוואה הפונקציונלית]] <math>\ \Gamma(z+1) = z\Gamma(z)</math>, המסבירה את הקשר לפונקציית העצרת, ועוד זהויות פונקציונליות רבות אחרות.
<div style="text-align: center;">
<math>
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt\mathrm{d}t
</math>
</div>
ניתן להראות שעבור [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], פונקציית גמא שווה (בהזזת 1) לפונקציית ה[[עצרת]].
 
אם <math>\,n</math> הוא חיובי ושלם, אזי <math>\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}\,e^{-t}\,dt\mathrm{d}t=(n-1)! </math>, כי על ידי ביצוע [[אינטגרציה בחלקים]], אפשר להראות כי <math>\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)</math>, ומאחר ש-<math>\,\Gamma(1)=1</math> נקבל כי <math>\,\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=\ldots=n!\Gamma(1)=n!\,</math>
לכל [[מספר טבעי]] <math>\,n</math>.
 
[[משפט בוהר-מורלרופ|משפט בוהר-מולרופ]] הוא משפט המאפיין את פונקציית גמא על פי ה[[משוואה פונקציונלית|משוואה הפונקציונלית]] שהיא מקיימת. המשפט קרוי של-שמם של ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] ה[[דנמרק|דנים]] [[הארלד בוהר]] ו[[יוהאן מולרופ]] שהוכיחו אותו.
 
: '''משפט''': פונקציית גמא הממשית, המוגדרת לכל <math>\,x>0</math> על ידי <math>\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt\mathrm{d}t</math>, היא הפונקציה היחידה <math>\,f</math> בקרן <math>(0,\infty)</math> המקיימת:
:# <math>\,f(1)=1</math>
:# <math>f(x+1)=xf(x)\ \mbox{for}\ x>0</math>
:# <math>\,f</math> היא [[פונקציה קמורה#פונקציה לוג-קמורה|פונקציה לוג-קמורה]]
5,034

עריכות