פונקציה עצמית – הבדלי גרסאות

נוספו 2,374 בתים ,  לפני שנה
הוספתי להסבר על היישומים
מ (לוקטורים->לווקטורים - תיקון תקלדה בקליק)
(הוספתי להסבר על היישומים)
כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי. במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה צירוף ליניארי של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי.
 
== יישומים במשוואות דיפרנציאליות חלקיות==
אחד היישומים העיקריים של פונקציות עצמיות בפיזיקה והנדסה היא במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות אלו מתארות קשרים בין השינויים של הפונקציה בפרמטרים שונים, לדוגמה, התפלגות חום על מוט לרוב תקיים את [[משוואת החום]]: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} - D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=0</math> כש-<math>D</math> מקדם הדיפוזיה, וסטיית הטמפרטורה משיווי משקל בכל נקודה נתונה על ידי <math>\psi(x,t)</math>. אחת השיטות הנפוצות לפתירת משוואות מסוג זה נקראת [[הפרדת משתנים]], בה לרוב מנסים להגיע להפרדה של כל הגורמים התלוי במשתנה אחד באגף אחד של המשוואה משאר האגפים (במשוואת החום העברת אגף פשוטה מספיקה: <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}</math>). אחרי שעושים זאת, באגף המופרד קיים אופרטור לינארי שעל ידי מציאת הפונקציות העצמיות שלו ניתן לקבל הורדה של אחת הנגזרות מהמשוואה. הפונקציות העצמיות של <math>D\frac{\partial^2}{\partial x^2}</math> הן <math>\cos kx , \sin kx </math> עבור k כלשהו (משום שגזירה פעמיים של הפונקציות האלו נותנות אותן פונקציות עד כדי כפל ב- <math>-Dk^2</math>). כלומר, עבור התפלגות חום שהיא כפל של הפונקציה העצמית המרחבית בפונקציה זמנית כלשהי: <math>\psi(x,t)=\cos kx \cdot T(t)</math>, נקבל משוואה פשוטה על החלק הזמני: <math> \frac{dT}{dt}=-Dk^2 T</math>, לה קיים פתרון: <math>T(t)=A e^{-Dk^2 t}</math>. כלומר, מציאת הפונקציות העצמיות של האופרטור נתנו לנו תיאור פשוט של ההתנהגות שלהן בזמן. השיטה נפוצה במשוואות דיפרנציות חלקיות רבות כמו [[משוואת הגלים]], [[משוואת לפלס]], [[משוואת שרדינגר]] ועוד.
=== מיתרים רוטטים ===
 
=== מיתרים רוטטים - משוואת הגלים ===
[[קובץ:Standing_wave.gif|ממוזער|270x270 פיקסלים|צורה של גל עומד במיתר הקבוע בשני קצותיו הוא דוגמה של פונקציה עצמית של אופרטור דיפרנציאלי. הערכים העצמיים הקבילים נקבעים על ידי אורך המיתר, וקובעים את תדירות התנודה.]]
אם <math>h(x, t)</math> מציין את המרחק האנכי של מיתר אלסטי מתוח, כגון מיתרים רוטטים של [[כלי מיתר]], כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t. החלת חוקי המכניקה לחלקים [[אינפיניטסימל|האינפיניטסימליים]] של המיתר, הפונקציה h עונה על [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|המשוואה הדיפרנציאלית החלקית]]
198

עריכות