החבורה הליניארית הכללית – הבדלי גרסאות

מ
הגהה, עריכת נוסחאות
מ (←‏פתיח: הגהה)
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
ב[[תורת החבורות]], '''החבורה הליניארית הכללית''' ממעלה <math>\ n</math> מעל ה[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math> היא אוסף ה[[מטריצה הפיכה|מטריצות ההפיכות]] בעלות <math>\ n</math> שורות ועמודות שאיבריהן שייכים לשדה <math>\ F</math>, ביחס לפעולת [[כפל מטריצות|הכפל של מטריצות]]. זוהי [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] שה[[איבר נייטרלי|איבר הנייטרלי]] שלה הוא [[מטריצת היחידה]]. זוהי אחת מהחבורות הבסיסיות הנחקרות בתורת החבורות. [[תת חבורה]] של החבורה הליניארית הכללית נקראת '''חבורה ליניארית''' או בפשטות [[חבורת מטריצות]]. [[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]] של חבורה מסוימת בתוך החבורה הליניארית הכללית נקרא [[הצגה ליניארית]] של החבורה.
 
את החבורה הליניארית הכללית ניתן להגדיר באופן שקול כאוסף [[העתקה ליניארית|ההעתקות הליניאריות]] ההפיכות מעל [[מרחב וקטורי]] <math>\ V</math> מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] <math>\ n</math> מעל השדה <math>\ F</math> היות שכל המרחבים הווקטוריים בעלי ממד סופי שווה הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]], ברור שמבנה החבורה אינו תלוי במרחב הווקטורי שלפיו היא הוגדרה. למעשה, באופן הזה מגדירים את החבורה הליניארית הכללית כ[[חבורת אוטומורפיזמים|חבורת האוטומורפיזמים]] של <math>\ V</math> ב[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מרחבים וקטוריים. כאשר משתמשים בהגדרה הראשונה מסמנים את החבורה בדרך כלל <math>\ \mathbf{GL}_n (F)</math> או <math>\ \mathbf{GL}(n,F)</math>, וכאשר משתמשים בהגדרה השנייה - <math>\ \mathbf{GL}(V)</math>.
 
המאפיינים האלגבריים של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברת]] המטריצות, או לחלופין אלגברת ההעתקות הליניאריות, כגון קיום ה[[דטרמיננטה]], מאפשרים להגדיר מספר תתי חבורות באופן טבעי. לדוגמה החבורה הליניארית המיוחדת, <math>\ \mathbf{SL}_n (F)</math>, היא תת-החבורה של החבורה הליניארית הכללית שמכילה את כל המטריצות בעלות דטרמיננטה 1. <math>\ \mathbf{SL}_n (F)</math> היא [[תת חבורת הקומוטטורים]] של <math>\ \mathbf{GL}_n (F)</math>, והיא בעצמה [[חבורה מושלמת]] אלא אם כן <math>\ n=2</math> והשדה <math>\ F</math> הוא בגודל 2 או 3.
 
החבורה הליניארית הכללית אינה [[חבורה אבלית|אבלית]], כל עוד <math>\ n</math> איננו 1. כאשר <math>\ n=1</math>, החבורה הליניארית הכללית היא פשוט החבורה הכפלית של השדה <math>\ F</math>.
 
כאשר השדה <math>\ F</math> מעליו החבורה מוגדרת הוא [[שדה המספרים הממשיים]] או [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]] <math>\ \mathbf{GL}(n,F)</math> היא [[חבורת לי]] מממד <math>\ n^2</math>. כאשר השדה <math>\ F</math> מעליו החבורה מוגדרת הוא [[שדה סגור אלגברית]] אזי <math>\ \mathbf{GL}(n,F)</math> היא [[חבורה אלגברית]] (חבורה שהיא גם [[יריעה אלגברית]]).
 
==קישורים חיצוניים==