הבדלים בין גרסאות בדף "גז לא אידיאלי"

נוספו 1,882 בתים ,  לפני 6 חודשים
אין תקציר עריכה
 
== משוואת המצב של גז לא אידיאלי: תיאור כללי ==
התיאור הבסיסי של גז לא אידיאלי הוא [[משוואת מצב|משוואת המצב]] הויריאלית (virial equation of state), הנתונה באופן כללי על ידי:
 
<math>\frac{Pv}{RT}=1+\frac{B\left(T\right)}{v}+\frac{C\left(T\right)}{v^2}+\ldots</math>
כאשר בשיוויון האחרון נעשה שימוש בהגדרת פונקציית המקבץ של מאייר.
 
ניתן להחליף קואורדינטות: <math>r_1,\ r_2\rightarrow\ r_{12},r_{cm}</math>, כאשר <math>r_{cm}=\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2}</math> הוא מיקום [[מרכז מסה|מרכז המסה]] של שני החלקיקים, ו- <math>r_{12}\equiv r_1-r_2</math>.
 
ניתן לבטא את <math>b_2</math> במונחי הקואורדינטות החדשות כ:
באמצעות תהליך דומה לתהליך שהוצג עבור המקדמים הויריאליים השני והשלישי ניתן למצוא גם מקדמים ויריאליים גבוהים יותר.
 
במסגרת הערכת המקדמים הויריאליים, בוצעה ההנחה שהאינטראקציה בין החלקיקים קשורה רק למיקום היחסי שלהם, הנחה שלא מתארת היטב מצב בו למולקולות הגז [[קוטביות (כימיה)|קוטביות]] גבוהה, כך שגם לאוריינטציה של המולקולות משמעות באינטראקציה ביניהן. מגבלה נוספת של המודל שהוצג להלן היא ההנחה שהפוטנציאל אדטיבי. תוצאות מדויקות יותר יתקבלו עבור מודלים הלוקחים בחשבון איבר לא אדטיבי בפוטנציאל.
 
== משוואת המצב עבור מודלים שונים לאינטראקציות בין החלקיקים - חישוב המקדם הויריאלי השני ==
בסעיף זה יוצג חישוב המקדם הויריאלי השני עבור מודלים שונים לאינטראקציות בין החלקיקים. באופן דומה ניתן לחשב גם מקדמים ויריאליים גבוהים יותר (החישוב שלהם מורכב יותר, כך שעבור מרבית המודלים לא ניתן למצוא את המקדמים הויריאליים הגבוהים יותר באופן אנליטי).
 
=== '''מודל הכדורים הקשיחים (hard sphere gas model)''' ===
במודל זה, חלקיקי הגז שקולים לכדורים ברדיוס <math>R</math>, כלומר אין אינטראקציה ביניהם כל עוד המרחק ביניהם גדול מ- <math>R</math>, ושני כדורים לא יכולים להימצא במרחק של פחות מ- <math>R</math> זה מזה. כלומר:
 
<math>\Phi\left(r_{12}\right)=4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^6\right]</math>
 
[[פוטנציאל זהלנארד-ג'ונס]] הוא תיאור נפוץ לאינטראקציה בין חלקיקים בגז, אשר לוקח בחשבון, בניגוד למודלים של כדורים קשיחים ובור פוטנציאל, את העובדה שחלקיקים בעלי אנרגיות גבוהות מספיק יכולים להגיע למרחק קטן כרצוננו אחד ביחס לשני.
 
עבור מודל זה, המקדם הויריאלי השני הוא (כאשר נסמן <math>x\equiv\frac{r_{12}}{\sigma}</math>, <math>T^\ast=\frac{kT}{\varepsilon}</math>):
ואת האינטגרל הזה ניתן לחשב נומרית.
 
=== מודל ואן דר ואלס (van der Waals) ===
למעשה, [[גז ואן דר ואלס|מודל ואן דר ואלס]] (''van der Waals'') לגז לא אידיאלי הוא מקרה פרטי של הפיתוח הסטטיסטי לגז לא אידיאלי, כאשר הפוטנציאל המתאר את האינטראקציה הוא מהצורה:
 
<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} {-u}_0\left(\frac{R}{r_{12}}\right)^{-6}\ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
 
אם נסמן  <math>a\equiv\frac{2\pi N_AR^3u_0}{3}</math>, <math>b\equiv\frac{2\pi N_AR^3}{3}</math>, נקבל את משוואת המצב של גז ואן דר ואלס.
 
=== טבלת סיכום למודלים השונים ===
{| class="wikitable"
|+
!
!מודל הכדורים הקשיחים
!בור פוטנציאל ריבועי
!פוטנציאל לנארד-ג'ונס 6-12
!מודל ואן דר ואלס
|-
|הפוטנציאל <math>\Phi\left(r_{12}\right)</math>
|<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
|<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} \infty\ \ \ \ \ \ \ 0<r_{12}<\sigma \\ -\varepsilon\ \ \ \ \ \sigma<r_{12}<R \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \end{cases}</math>
|<math>\Phi\left(r_{12}\right)=4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^6\right]</math>
|<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} {-u}_0\left(\frac{R}{r_{12}}\right)^{-6}\ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
|-
|המקדם הויריאלי השני <math>B\left(T\right)</math>
|<math>\frac{2\pi R^3N_A}{3}</math>
|<math>\frac{2\pi N_A\sigma^3}{3}\left[1-\left(R^3-1\right)\left(e^\frac{\varepsilon}{kT}-1\right)\right]</math>
|<math>\frac{4b_0}{T^\ast}\int_{0}^{\infty}{x^2\left(\frac{12}{x^{12}}-\frac{6}{x^6}\right)exp\left\{-\frac{4}{T^\ast}\left[\left(\frac{1}{x}\right)^{12}-\left(\frac{1}{x}\right)^6\right]\right\}dx}</math>
|<math>\frac{2\pi N_AR^3}{3}\left(1-\frac{u_0}{kT}\right)</math>
|}
 
== מאפיינים של גז לא אידיאלי ==
לכל מאפיין של גז לא אידיאלי <math>X(T,V)</math> (למשל פונקציות המצב התרמודינמיות), ניתן להגדיר את התיקון למאפיין זה ביחס לגז אידיאלי <math>\Delta X(T,V)</math>, כך ש:
<br />
33

עריכות