העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

אין שינוי בגודל ,  לפני שנתיים
←‏דוגמאות: נאמר שמטריצה מייצגת העתקה לינארית בין R^n ל R^m דווקא, אבל זה בין כל שדה שהוא ולאו דווקא R
(הגהה, עריכת נוסחאות)
(←‏דוגמאות: נאמר שמטריצה מייצגת העתקה לינארית בין R^n ל R^m דווקא, אבל זה בין כל שדה שהוא ולאו דווקא R)
תגיות: עריכה ממכשיר נייד עריכה דרך האתר הנייד
 
== דוגמאות ==
* אם <math>A</math> היא [[מטריצה]] מסדר <math>m \times n </math>, אז <math>A</math> מגדירה העתקה ליניארית <math>T_A : \mathbb{RF}^n \to \mathbb{RF}^m</math> מ-<math> \mathbb R ^n </math> ל-<math> \mathbb R ^m </math> כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב <math> \mathbb R ^n </math> על ידי [[כפל מטריצות]] מימין: <math>T_A(\vec{x}) = A\vec{x}</math> זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה ליניארית בין מרחבים מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי בדרך זו.
* טרנספורמציית האפס <math>\boldsymbol{0}:V \to W</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את [[איבר האפס|וקטור האפס]] בטווח) ו[[פונקציית הזהות|טרנספורמציית הזהות]] <math>\operatorname{Id}: V \to V</math> (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות ליניאריות. בפרט, אם <math>V=\mathbb{R}^n, W=\mathbb{R}^m</math> אז את טרנספורמציית האפס ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> כאשר <math>A</math> היא מטריצת האפס (מטריצה בגודל המתאים שכולה אפסים), ואת טרנספורמציית הזהות <math>\operatorname{Id}:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ניתן לייצג כ-<math>T_A</math> על ידי <math>A=I_n</math> כאשר <math>I_n</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>n</math> (כלומר: בגודל <math>n \times n</math>).
* ההעתקה <math>T_A : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> עם <math>A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}</math> היא העתקה ליניארית המותחת את ציר ה-<math>x</math> בעוד את ציר ה-<math>y</math> היא משאירה ללא שינוי. נבטא אותה במפורש: <math display="block">\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x \\ y \end{bmatrix}</math> ולכן <math>T_A(x,y) = (2x,y)</math>. קל לבדוק ישירות שהיא אכן ליניארית. ראו המחשה גרפית שלה באיורים שבתחתית סעיף זה.