אינטגרל קווי – הבדלי גרסאות

מבחינת הנדסית, כשם שבבניית האינטגרל המסוים מחושב ה[[שטח]] המכוון שבין גרף הפונקציה לציר ה-<math>x</math>, כך המשמעות ההנדסית של האינטגרל הקווי היא השטח שבין גרף הפונקציה לעקום, כשאת תפקידו של ציר ה-<math>x</math> ממלא בבנייה זו הקו העקום.

על העקומה <math>\ C</math> מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת היא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן <math>\ \vec {\xi_i}</math>. זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הוא <math>\ \rho (\vec{\xi_i})</math>. זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה <math>\ \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math> כאשר <math>\ \Delta \ell_i</math> הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע, <math> \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>, נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: <math>\lim_{\max \Delta \ell_i \rightarrow 0} \sum_{i} \rho (\vec{\xi_i}) \Delta \ell_i</math>. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור <math>\int_{C} \rho (\vec{x}) dl\,\mathrm{d}\ell</math> ונקרא "'''אינטגרל קווי מסוג ראשון'''".

:'''הערה:''' באופן דומה, במקום לחלק את הקטע, ניתן לפנות ישירות אל הגדרת האינטגרל על פי רימן ולפיכך להגדיר <math>\ \int_{C} f dl\,\mathrm{d}\ell = \int_{0}^{\text{Length}(C)} f(\gamma(l\ell))dl \,\mathrm{d}\ell</math> כאשר <math>\gamma(l\ell)\,</math> היא הפרמטריזציה של העקום לפי האורך.

:<math>\Delta \ell_i \approx \sqrt{\left(\frac{dx_1\mathrm{d}x_1(t)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n\mathrm{d}x_n(t)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2}dt \,\mathrm{d}t</math>.

<math>\int_{C} \rho (\vec{x}) dl\,\mathrm{d}l = \int_{t_a}^{t_b}\rho (x_1(t), \cdots, x_n(t))\sqrt{\left(\frac{dx_1(t)}{dt}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n(t)}{dt}\right)^2}dt \,\mathrm{d}t</math>.

<math>\lim_{\max \Delta x_i \rightarrow 0} \sum_{i} \vec F(\vec x)_{i} \cdot \Delta x_{i}</math>. זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור <math>\int_{C}\vec F(\vec x) \cdot \mathrm{d}\vec{l}</math>, כאשר <math>\mathrm{d}{l}=(\Delta x_1, \cdots, \Delta x_n)</math> הוא אלמנט אורך וקטורי. סכום זה נקרא "'''אינטגרל קווי מסוג שני'''".

:<math>\mathrm{d}\vec{l} = \left( \left(\frac{{dx_1\mathrm{d}x_1(t)}}{{dt\mathrm{d}t}}\right), \cdots , \left(\frac{dx_n\mathrm{d}x_n(t)}{dt\mathrm{d}t}\right) \right) dt\,\mathrm{d}t </math>

<math>\int_{C}\vec F(\vec x) \cdot \mathrm{d}\vec{l}=\int_{t_a}^{t_b}\vec F(\vec x(t)) \cdot \left( \left(\frac{{dx_1\mathrm{d}x_1(t)}}{{dt\mathrm{d}t}}\right), \cdots , \left(\frac{dx_n\mathrm{d}x_n(t)}{dt\mathrm{d}t}\right) \right) dt\mathrm{d}t</math>.

:<math>\Gamma=\oint_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{d} \vec{l}</math>,

יש לחשב את האינטגרל <math>\ \int_{C} z^2 \,dl\mathrm{d}l</math> כאשר המסלול <math>\ C</math> מתואר על ידי <math>C: \left\{\begin{matrix} x=\cos\left(t\right) \\ y=\sin\left(t\right) \\z=e^t \end{matrix}\right. ,t \in [0,\frac{{\pi}}{{2}}]</math>. לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים <math>\ \int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} \left(e^t\right)^2 \sqrt{\left(\frac{d \cos\left(t\right)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d \sin\left(t\right)}{dt}\right)^2 + \left(\frac{d e^t}{dt}\right)^2}dt=\int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} e^{2t} \sqrt{e^{2t}+1}\,dt</math>. התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי [[החלפת משתנה|החלפת]] <math>\ e^{2t}</math> במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא <math>\ 38.5942</math>.

יש לחשב את האינטגרל <math>\ \int_{C} \left(x^3+y^3\right)\,dx\mathrm{d}x+y \, dy\mathrm{d}y </math> כאשר <math>\ C</math> הוא העקום <math>\ y=\frac{{1}}{{x}}</math> עבור <math>\ x \in [1,5]</math>. ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה <math>C: \left\{\begin{matrix} x=x \\ y=\frac{{1}}{{x}}\end{matrix}\right. ,x \in [1,5]</math>. בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא <math>\ x</math> (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב <math>\ t</math> במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים <math>\ \int_1^5 \left[\left(x^3+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)^3\right)\frac{{dx}}{{dx}}+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)\left(\frac{{d\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}{{dx}}\right)\right]dx=\int_1^5 \left[x^3+\frac{{1}}{{x^3}}-\frac{{1}}{{x^3}}\right]dx</math>. זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל <math>\ 156</math>.

:<math>\ \int_{\gamma}f(z)\, dz\mathrm{d}z = \int_a^bf(\gamma (t))\gamma '(t)\, dt\mathrm{d}t</math>.

:<math>f(z_0) = {1 \over 2\pi i} \oint_{\partial D} {f(z) \over z-z_0}\, dz\mathrm{d}z </math>

:<math>\int ^{2 \pi} _{0} \frac{1}{1+ \sin x} dx\,\mathrm{d}x = \frac {\pi} {2 \sqrt{2}}</math>.