אינטגרל קווי – הבדלי גרסאות

<math>\int_{C} \rho (\vec{x}) \,\mathrm{d}l = \int_{t_a}^{t_b}\rho (x_1(t), \cdots, x_n(t))\sqrt{\left(\frac{dx_1\mathrm{d}x_1(t)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{dx_n\mathrm{d}x_n(t)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2} \,\mathrm{d}t</math>.

יש לחשב את האינטגרל <math>\ \int_{C} z^2 \,\mathrm{d}l</math> כאשר המסלול <math>\ C</math> מתואר על ידי <math>C: \left\{\begin{matrix} x=\cos\left(t\right) \\ y=\sin\left(t\right) \\z=e^t \end{matrix}\right. ,t \in [0,\frac{{\pi}}{{2}}]</math>. לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים <math>\ \int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} \left(e^t\right)^2 \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d} \cos\left(t\right)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d} \sin\left(t\right)}{dt\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d} e^t}{dt\mathrm{d}t}\right)^2}dt \,\mathrm{d}t=\int_0^{{\frac{{\pi}}{{2}}}} e^{2t} \sqrt{e^{2t}+1} \,dt\mathrm{d}t</math>. התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי [[החלפת משתנה|החלפת]] <math>\ e^{2t}</math> במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא <math>\ 38.5942</math>.

יש לחשב את האינטגרל <math>\ \int_{C} \left(x^3+y^3\right)\,\mathrm{d}x+y \, \mathrm{d}y </math> כאשר <math>\ C</math> הוא העקום <math>\ y=\frac{{1}}{{x}}</math> עבור <math>\ x \in [1,5]</math>. ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה <math>C: \left\{\begin{matrix} x=x \\ y=\frac{{1}}{{x}}\end{matrix}\right. ,x \in [1,5]</math>. בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא <math>\ x</math> (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב <math>\ t</math>במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים <math>\ \int_1^5 \left[\left(x^3+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)^3\right)\frac{{dx\mathrm{d}x}}{{dx\mathrm{d}x}}+\left(\frac{{1}}{{x}}\right)\left(\frac{{\mathrm{d}\left(\frac{{1}}{{x}}\right)}}{{dx\mathrm{d}x}}\right)\right]dx \,\mathrm{d}x = \int_1^5 \left[x^3+\frac{{1}}{{x^3}}-\frac{{1}}{{x^3}}\right]dx \,\mathrm{d}x</math>. זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל <math>\ 156</math>.

:<math>\oint_{C} (L\, dx\mathrm{d}x + M\, dy\mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\mathrm{d}A</math>.

:<math>\oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dl\mathrm{d}\ell}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot \mathrm{d}\hat n </math>,