פונקציית זטא של רימן – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) |
||
שורה 18:
כפי שהיא מוגדרת בדרך כלל, על ידי הסכום <math>\ \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}</math>, הפונקציה מתכנסת רק לערכים מימין לישר <math>\ \Re(s) = 1</math>. כדי להגדיר את הפונקציה על כל המישור, יש לבצע [[המשכה אנליטית]]: <math>\ \sum_{n=1}^{\infty}n^{-s} = \sum_{n=1}^{\infty}s \int_n^{\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{s+1}} = s \int_1^{\infty} \frac{[t]}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t = \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{t-[t]}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t</math>. האינטגרל בביטוי האחרון מתכנס מימין לישר <math>\ \Re(s) = 0</math>, ואפשר להשתמש בשוויון הזה כדי להגדיר את הפונקציה בתחום הרחב יותר.
אם מגדירים <math>\ \Lambda(s) = \Gamma(s/2)\pi^{-s/2}\zeta(s)</math>, כאשר <math>\ \Gamma</math> היא [[פונקציית גמא]], אז מתקיים השוויון <math>\ \Lambda(s) = \Lambda(1-s)</math> לכל s מרוכב שאינו שלם. משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר <math>\ \Re(s)=1/2</math>, היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו, ושל פונקציות זטא בכלל. אפשר להוכיח אותה מן הזהות <math>\ \theta(i/t) = t^{1/2}\theta(i t)</math> שמקיימת [[פונקציית תטא]] <math>\ \theta(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i n^2 z}</math>. לפונקציית זטא של רימן יש גם גרסה סימטרית, שהיא [[פונקציית קסי של רימן]], המוגדרת <math>\xi(s) = \tfrac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\tfrac{1}{2} s\right) \zeta(s)</math>.
== מקורות ==
| |||