משפט סטוקס – הבדלי גרסאות

בהינתן [[יריעה]] דיפרנציאלית קומפקטית [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילית]] <math> \ M</math> ו[[תבנית דיפרנציאלית]] <math> \omega</math> המוגדרת על <math> \ M</math> מתקיים:

כאשר <math>\ d\omega</math> היא ה[[תבנית דיפרנציאלית#פעולות על תבניות|נגזרת החיצונית]] של <math>\ \omega</math> ו-<math>\ \partial M</math> היא השפה של <math> \ M</math>.

ב[[מרחב וקטורי|מרחב הווקטורי]] <math>\mathbb{R}^3</math>, ניתן לנסח את המשפט כך: <math>\oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dl}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot d\hat n </math>, כאשר <math> \ A</math> היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא [[אינטגרל מסילתי]] של השדה על שפת <math> \ A</math>, והאגף הימני הוא [[אינטגרל משטחי]] על ה[[שטף]] של [[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] השדה דרך <math> \ A</math>. שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים '''חוק סטוקס''') הוא ב[[משוואות מקסוול]], או ליתר דיוק, ב[[חוק אמפר]] וב[[חוק פאראדיי]].

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־<math>\mathbb{R}^3</math> היא [[משפט גאוס]] (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): <math>\iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec F )dV=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\vec F\cdot d\hat n</math>, כאשר <math> \ V</math> הוא נפח ב־<math>\mathbb{R}^3</math>, <math> \ S=\partial V</math> היא המעטפת הכולאת אותו, ו־<math>\ \hat n</math> הוא וקטור נורמלי למשטח <math> \ S</math>. האגף השמאלי הוא [[אינטגרל נפחי]] של ה[[דיברגנץ]] של <math> \ \vec F</math> על הנפח <math> \ V</math>, ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של ה[[שטף]] של <math> \ \vec F</math> דרך <math> \ S</math>. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא [[חוק גאוס]].