משפט הגרדיאנט – הבדלי גרסאות

נוספו 354 בתים ,  לפני שנתיים
סידור
מ (שיניתי מאינטגרל כפול לאינטגרל מסילתי במשפט הפותח.)
(סידור)
ב[[מתמטיקה]], בעיקר ב[[אנליזה וקטורית]], '''משפט הגרדיאנט''', ידע גם בתור ''' המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור אינטגרל מסילתי''', הוא משפט חשוב מאוד בתחום האנליזה הווקטורית, ובכלל ב[[אנליזה מתמטית]], ומשמש כהכללה ל[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] עבור כל [[עקומה]] <math>n</math>-ממדית.
 
המשפט: בהינתן פונקציה <math> \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> ועקומה <math>\gamma</math> מנקודה '''<math>\mathbf{p'''}</math> לנקודה '''<math>\mathbf{q'''}</math>, אז:
:<math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}. </math>
 
כאשר <math> \nabla\varphi </math> מסמל את ה[[גרדיאנט]] של הפונקציה <math>\varphi</math>.
 
==הוכחה==
ידוע כי אם φ<math>\varphi</math> היא [[פונקציה גזירה]], מ[[קבוצה פתוחה|תת קבוצה פתוחה]] ''<math>U''</math> של '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> ל-'''<math>\mathbb{R'''}</math>, ואם '''<math>\mathbf{r'''}</math> היא פונקציה גזירה מ[[קטע (מתמטיקה)|אינטרוול]] ממשי <math>[''a,b'']</math> ל-''<math>U''</math>, אז על פי [[כלל השרשרת]], הפונקציה φ<math>\varphi \circ '''\mathbf{r'''}</math> היא פונקציה גזירה בתחום <math>(''a'', ''b'')</math> ומתקיים
:<math>\frac{\mathrm{d}}{dt\mathrm{d}t}(\varphi \circ \mathbf{r})(t)=\nabla \varphi(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>
 
לכל ''<math>t'' בתחום\in (''a'', ''b'')</math>.
 
עכשיו נניח כי בתחום ''<math>U</math>'' קיימת עקומה גזירה γ<math>\gamma</math> בעלת נקודות קיצון '''<math>\mathbf{p}</math>''' ו-'''<math>\mathbf{q}</math>'''. אם '''<math>\mathbf{r}</math>''' מייצג [[פרמטר]] של γ<math>\gamma</math> עבור כל ''<math>t'' בתחום\in [''a'', ''b'']</math>, אז ניתן לראות מטענה הנ"ל כי
 
:<math>\begin{align}
\int_{\gamma} \nabla\varphi(\mathbf{u}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{u} &=\int_a^b \nabla\varphi(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)dt \,\mathrm{d}t \\
&=\int_a^b \frac{\mathrm{d}}{dt\mathrm{d}t}\varphi(\mathbf{r}(t))dt \,\mathrm{d}t =\varphi(\mathbf{r}(b))-\varphi(\mathbf{r}(a))=\varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right)
\end{align} </math>
 
ישנה גרסה מורחבת של משפט הגרדיאנט אשר עוסקת ב[[שדה וקטורי|שדות וקטורים]].
יהי <math> F=(F_1,F_2) </math> שדה וקטורי חלק ב-<math> \mathbb{R}^2</math>. אז התנאים הבאים שקולים:
# קיימת פונקציה חלקה <math> f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> כך שמתקיים לכל <math>p</math>, <math> \nabla_p f=F(p) </math>.
# לכל <math>p</math>, <math> \frac{\partial F_1}{\partial y} _p =\frac{\partial F_2}{\partial x} _p </math>.
# לכל עקום חלק <math> \Gamma </math> במישור, האיטגרל <math> \int_{ \Gamma} F_1dx+F_2 dy </math> תלוי רק בקצוות העקום.
# לכל עקום חלק וסגור <math> \Gamma </math> במישור, האיטגרל <math> \int_{ \Gamma} F_1dx+F_2 dy=0 </math>.
5,536

עריכות