הבדלים בין גרסאות בדף "חבורה (מבנה אלגברי)"

מ
בוט החלפות: שוויו\1
מ (הגהה, עריכת נוסחאות)
מ (בוט החלפות: שוויו\1)
איבר היחידה של חבורה הוא ה[[אידמפוטנט]] היחיד בה. ב[[חבורה למחצה]] יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, [[חבורה למחצה הפיכה]] היא חבורה למחצה שבה לכל <math>x</math> קיים <math>y</math> יחיד כך ש-<math>xyx=x</math> ו-<math>yxy=y</math>; במקרה זה מסמנים <math>\ x^{-1}=y</math>. בחבורה למחצה סופית <math>S</math>, לכל אידמפוטנט <math>e</math>, קבוצת האיברים המקיימים <math>xx^{-1}=x^{-1}x=e</math> היא תת-החבורה המקסימלית של <math>S</math> ש-<math>e</math> הוא איבר היחידה שלה.
 
ב[[מונואיד]], שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר <math>a</math> יהיה "הפיך מימין" (קיים <math>b</math> כך ש-<math>ab=1</math>) או "הפיך משמאל" (קיים <math>b</math> כך ש-<math>ba=1</math>). איבר <math>a</math> שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, קיים <math>b</math> המקיים בו-זמנית <math>ab=ba=1</math>. בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל <math>a</math> קיימים <math>x,y</math> כך ש-<math>xay=1</math>. מונואיד שבו מהשיוויוןמהשוויון <math>ax=ay</math> תמיד נובע <math>x=y</math>, נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה.
 
==תת-חבורות==