העתקת מביוס – הבדלי גרסאות

ב[[אנליזה מרוכבת]], '''טרנספורמצית מביוס''' היא פונקציה מהצורה <math>T(z)=\frac{az+b}{cz+d}</math> כאשר <math> \ a,b,c,d </math> הם מקדמים [[מספר מרוכב|מרוכבים]] כך ש <math> \ ad-bc \ne 0</math>.

* הרכבה של טרנספורמציות מביוס היא גם טרנספורמצית מביוס, ולכן טרנספורמציות מביוס מהוות [[חבורה (אלגברה)|חבורה]], וחבורת טרנספורמציות מביוס מהוות את חבורת האוטומורפיזמים של ספירת רימן, ומסומנת לעתים<math>\mbox{Aut}(\widehat\mathbb C)</math>. במינוח של [[גאומטריה דיפרנציאלית]], נאמר כי טרנספורמציות מביוס הן כל ה[[דיפאומורפיזם|דיפאומורפיזמים]] של ספירת רימן לעצמה. ישנן תתי חבורות של טרנספורמציות מביוס המהוות את האוטומורפיזמים של [[משטח רימן|משטחי רימן]] אחרים, כמו המישור המרוכב או ה[[גאומטריה היפרבולית|מישור ההיפרבולי]], ועל כן טרנספורמציות מביוס מהוות חלק חשוב בתאוריה של משטחי רימן.

* טרנספורמצית מוביוס מעתיקה מעגלים וישרים ב <math>\mathbb{C}</math> למעגלים וישרים, (אך לא בהכרח מעתיקה מעגל למעגל וישר לישר). ניתן לנסח תכונה זו בצורה פשוטה ואלגנטית יותר, אם מרחיבים את הדיון לספירת רימן כולה(<math>\widehat \mathbb{C}</math>). נשים לב כי גם מעגלים וגם ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים ב <math>\widehat \mathbb{C}</math>, כאשר ישרים ב <math>\mathbb{C}</math> מתאימים למעגלים העוברים דרך הקוטב הצפוני. לכן, מעל ספירת רימן ניתן לומר בפשטות כי טרנספורמציית מביוס מעתיקה מעגלים למעגלים.

נשים לב גם כי כפל בסקלר של כל המקדמים אינו משנה את הטרנסמפורמציה - <math>\frac{az+b}{cz+d}=\frac{\lambda az+\lambda b}{\lambda cz+\lambda d}</math>. בנוסף, הדרישה <math> \ ad-bc \ne 0</math> היא בדיוק הדרישה שהמטריצה תהיה הפיכה. לכן, ניתן לזהות טרנספורמציות עם [[טרנספורמציה לינארית|טרנספורמציות לינאריות]] מ <math>\mathbb{C}^2</math> ל <math>\mathbb{C}^2</math>, עד כדי כפל במטריצה סקלרית. כלומר, <math>\mbox{Aut}(\widehat\mathbb C) \cong \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})/c\cdot Id</math>,( כאשר <math>c\cdot Id</math> היא חבורת המטריצות הסקלריות המרוכבות מסדר 2x2).