חוג אוקלידי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הגהה, עריכת נוסחאות |
Bustan1498 (שיחה | תרומות) ←הגדרה: סידור |
||
שורה 5:
== הגדרה ==
[[תחום שלמות]] <math>D</math> הוא '''חוג אוקלידי''', אם קיימת פונקציה המחזירה [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]], <math>d
* לכל <math>a\in D</math> ולכל <math>0\neq b \in D</math>, קיימים <math>q, r\in D</math> כך ש- <math>a=qb+r</math>, כאשר <math>r=0</math> או <math>d(r)<d(b)</math>.
במלים אחרות, אם <math>b</math> אינו מחלק את <math>a</math> באופן מדויק, אז אפשר לחלק עם שארית, כאשר "דרגת" השארית (הערך של הפונקציה <math>d</math> עבורה) קטנה מדרגת המחלק <math>b</math>. תכונה זו היא היסוד להוכחות ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] על הדרגה, והיא מאפשרת לבחור בקבוצה (לא [[הקבוצה הריקה|ריקה]]) נתונה איבר שדרגתו הקטנה ביותר.
הדרישה <math>d(a)\leq d(ab)</math> איננה הכרחית, מכיוון שבהינתן פונקציה <math>d</math> המקיימת את הדרישה השנייה בלבד, אפשר להגדיר פונקציה חדשה <math>\delta(x)=\min_{y\in D
כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת גם באיבר ה[[0 (מספר)|אפס]] של <math>D</math>, יש הקובעים <math>d(0)=0</math> (כאשר מובן שדרגתם של כל האיברים האחרים היא 1 לפחות).
| |||