הבדלים בין גרסאות בדף "גז לא אידיאלי"

הוסרו 33 בתים ,  לפני 6 חודשים
מ
החלפות (הייתה , שוויון, ז.{{ש}}המ, , )
מ (הוספת קטגוריה:גזים באמצעות HotCat)
מ (החלפות (הייתה , שוויון, ז.{{ש}}המ, , ))
 
בגז לא אידיאלי, האנרגיה של מצב מיקרוסקופי s נתונה על ידי:
 
<math>E_s=E_{s,id}+\Phi(r_1,r_2,...,r_N)</math><br />כאשר <math>E_{s,id}</math> היא האנרגיה שהיתהשהייתה למצב מיקרוסקופי לו הגז היה אידיאלי, ו-<math>\Phi</math> היא [[אנרגיה פוטנציאלית|האנרגיה הפוטנציאלית]] (האנרגיה כתוצאה מאינטראקציה בין החלקיקים).
 
[[פונקציית חלוקה (פיזיקה)|פונקציית החלוקה]] הקנונית נתונה על ידי:
<math>Q\ \left(T,V,N\right)=\sum_{s}exp\ {\left(-\frac{E_{s,id}}{kT}\right)}\frac{1}{V^N}\int_{V}\exp{\left(-\frac{\Phi}{kT}\right)d^{3N}r}</math>
 
כאשר <math>k</math> הוא [[קבוע בולצמן]]. הביטוי <math>\sum_{s}exp\ {\left(-\frac{E_{s,id}}{kT}\right)}</math> הוא פונקציית החלוקה הקנונית עבור גז אידיאלי <math>Q_{id}</math> , והביטוי <math>\int_{V}\exp{\left(-\frac{\Phi}{kT}\right)d^{3N}r}</math> מכונה "'''אינטגרל קונפיגורציה'''", ויסומן ב- <math>Q_N</math> , כך שמתקיים:  <math>Q\ \left(T,V,N\right)=Q_{id}\frac{Q_N}{V^N}</math>. ניתן לראות שאינטגרל הקונפיגורציה ה- <math>N</math> מביא לידי ביטוי אינטראקציה בין <math>N</math> חלקיקים בגז.<br />{{ש}}המשך הפיתוח יבוצע באנסמבל הגרנד קנוני. פונקציית החלוקה הגרנד קנונית מוגדרת כ:
 
<math>\Xi=\sum_{N=0}^{\infty}\sum_{s}{\lambda^N\ e^{-\beta E_{Ns}}}\ =\sum_{N=0}^{\infty}{\lambda^N\ Q(T,V,N)}</math>
</math>
 
כאשר השיוויוןהשוויון השני נובע מכך שמתקיים <math>Q=\frac{Z^N}{N!}
</math>, כאשר <math>Z
</math> היא פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד, לכן האיבר בסכום הנ"ל עבור <math>N=0
</math> הוא 1, ובשיוויוןובשוויון האחרון סומן <math>z\equiv\frac{\lambda Z}{V}
</math>.
 
כאשר במעבר שלפני האחרון נעשה שימוש בקשר <math>PV=kT\ln{\Xi}</math> שצוין קודם, ובמעבר האחרון נעשה שימוש בביטוי של <math>\frac{P}{kT}</math> כטור חזקות של <math>z</math>.
 
כדי למצוא את הקשר ההפוך - <math>z</math> כפונקציה של <math>n</math> - ניתן לכתוב את <math>z</math> כטור חזקות של <math>n</math> : <math>z=\sum_{l=1}^{\infty}{a_ln^l}</math> , ולמצוא את מקדמי הטור על ידי הצבה של <math>z(n)</math> הנ"ל בביטוי ל- <math>n(z)</math>. כך, ניתן לקבל:
 
<math>z=n-2b_2+\left(8b_2^2-3b_3\right)n^3+\ldots</math>
 
== הערכת המקדמים הויריאליים ==
על מנת להעריך את המקדמים הויריאליים, יש להעריך את אינטגרלי הקונפיגורציה <math>Q_N</math>.
 
בהנחה שהפוטנציאל <math>\Phi</math> הוא [[פוטנציאל מרכזי]], ניתן לבטא אותו כסכום של האנרגיות הנובעות מאינטראקציה בין כל זוג חלקיקים:
<math>b_2=\frac{Q_2-Q_1^2}{2! V}=\frac{1}{2V}\iint_{V}{\left\{\exp{\left[-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}\right]}-1\right\}d^3r_1d^3r_2}=\frac{1}{2V}\iint_{V}{f_{12}d^3r_1d^3r_2}</math>
 
כאשר בשיוויוןבשוויון האחרון נעשה שימוש בהגדרת פונקציית המקבץ של מאייר.
 
ניתן להחליף קואורדינטות: <math>r_1,\ r_2\rightarrow\ r_{12},r_{cm}</math>, כאשר <math>r_{cm}=\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2}</math> הוא מיקום [[מרכז מסה|מרכז המסה]] של שני החלקיקים, ו- <math>r_{12}\equiv r_1-r_2</math>.
 
ניתן לבטא את <math>b_2</math> במונחי הקואורדינטות החדשות כ:
<math>B\left(T\right)=-b_2N_A=-\frac{N_A}{2}\int_{V}{f_{12}d^3r_{12}}=-\frac{N_A}{2}\int_{V}{\left\{\exp{\left[-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}\right]}-1\right\}d^3r_{12}}=2\pi N_A\int_{0}^{\infty}{\left\{1-\exp{\left[-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}\right]}\right\}r_{12}^2dr_{12}}</math>
 
כאשר בשיוויוןבשוויון האחרון נעשה השימוש בקשר שמתקיים עבור סימטריה ספרית: <math>d^3\ r_{12}=4\pi r_{12}^2\ dr_{12}</math>. לסיכום:
{| class="wikitable"
!<math>B\left(T\right)=2\pi N_A\int_{0}^{\infty}{\left\{1-\exp{\left[-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}\right]}\right\}r_{12}^2dr_{12}}</math>
 
=== המקדם הויריאלי השלישי ===
בהנחה שהאינטראקציות בין החלקיקים הן כוחות מרכזיים וכן שהפוטנציאל אדטיבי במובן ש:<math>\Phi\left(r_1,r_2,r_3\right)=\Phi\left(r_{12}\right)+\Phi\left(r_{13}\right)+\Phi\left(r_{23}\right)</math> , ניתן להציב את הפוטנציאל הנ"ל בביטוי לאינטגרל הקונפיגורציה <math>Q_3</math>, ומהקשר בין המקדם <math>b_3</math> לאינטגרלי הקונפיגורציה לקבל:
 
<math>b_3=\frac{1}{3!V}\iiint_{V}{\left[e^{-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}}e^{-\frac{\Phi\left(r_{13}\right)}{kT}}e^{-\frac{\Phi\left(r_{23}\right)}{kT}}-e^{-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}}-e^{-\frac{\Phi\left(r_{13}\right)}{kT}}-e^{-\frac{\Phi\left(r_{23}\right)}{kT}}+2\right]d^3r_1d^3r_2d^3r_3}=\frac{1}{3!V}\iiint_{V}{\left[f_{12}f_{13}f_{23}+f_{12}f_{13}+f_{12}f_{23}+f_{13}f_{23}\right]d^3r_1d^3r_2d^3r_3}</math>
 
כאשר השיוויוןהשוויון האחרון נובע מהצבת ההגדרה של פונקציית המקבץ של מאייר.
 
על מנת לחשב את המקדם הויריאלי השלישי, יש למצוא ביטוי גם ל- <math>b_2^2</math> (לפי הביטוי למקדם הויריאלי השלישי שפותח קודם). לשם כך, נתבונן באינטגרל: <math>\iiint_{V}{f_{12}f_{13}d^3r_1d^3r_2d^3r_3}</math>. ניתן לבצע מעבר קואורדינטות <math>r_1,\ r_2,r_3\rightarrow r_{cm},\ r_{12},\ r_{13}</math>, ולכתוב את האינטגרל הנ"ל במונחי הקואורדינטות החדשות:
<math>\iiint_{V}{f_{12}f_{13}d^3r_1d^3r_2d^3r_3}=\int_{V}{d^3r_{cm}}\int_{V}{f_{12}d^3r_{12}}\int_{V}{f_{13}d^3r_{13}}=V\int_{V}{f_{12}d^3r_{12}}\int_{V}{f_{13}d^3r_{13}}=4Vb_2^2</math>
 
כאשר השיוויוןהשוויון האחרון נובע מהקשר בין <math>b_2</math> לפונקציית המקבץ של מאייר, שהוצג כאשר חושב המקדם הויריאלי השני.
 
באמצעות שימוש בקשר בין המקדם הויריאלי השלישי לאינטגרלי המקבץ, ובקשרים שהוצגו לעיל בין אינטגרלי המקבץ לפונקציית המקבץ של מאייר, ניתן לכתוב את המקדם הויריאלי השלישי באמצעות פונקציית המקבץ:
במודל זה, חלקיקי הגז שקולים לכדורים ברדיוס <math>R</math>, כלומר אין אינטראקציה ביניהם כל עוד המרחק ביניהם גדול מ- <math>R</math>, ושני כדורים לא יכולים להימצא במרחק של פחות מ- <math>R</math> זה מזה. כלומר:
 
<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
 
לכן המקדם הויריאלי השני הוא:
 
<math>B\left(T\right)=2\pi N_A\int_{0}^{\infty}{\left\{1-\exp{\left[-\frac{\Phi\left(r_{12}\right)}{kT}\right]}\right\}r_{12}^2dr_{12}}=2\pi N_A\int_{0}^{R}{r_{12}^2dr_{12}}=\frac{2\pi R^3N_A}{3}\equiv b_0</math>
 
 
[[קובץ:Square well potential graph.svg|ממוזער|323x323px|איור 3: בור פוטנציאל ריבועי|טקסט=]]
 
=== בור פוטנציאל ריבועי (square-well potential) ===
<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} \infty\ \ \ \ \ \ \ 0<r_{12}<\sigma \\ -\varepsilon\ \ \ \ \ \sigma<r_{12}<R \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \end{cases}</math>
 
לכן:
למעשה, המודל של [[גז ואן דר ואלס]] (van der Waals) הוא מקרה פרטי של הפיתוח הסטטיסטי לגז לא אידיאלי, כאשר הפוטנציאל המתאר את האינטראקציה הוא מהצורה:
 
<math>\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} {-u}_0\left(\frac{R}{r_{12}}\right)^{-6}\ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
 
עבור פוטנציאל כזה, המקדם הויריאלי השני הוא:
<math>B\left(T\right)=2\pi N_A\left[\int_{0}^{R}{r^2dr+\int_{R}^{\infty}{\left\{1-\exp{\left[\frac{u_0}{kT}\left(\frac{R}{r}\right)^6\right]}\right\}r^2dr}}\right]</math>
 
תחת ההנחה ש- <math>\frac{u_0}{kT}\ll1</math>, ניתן לקרב את האינטגרנד השני ל-  <math>-\frac{u_0}{kT}\left(\frac{R}{r}\right)^6</math>, כך שמתקבל:
 
<math>B\left(T\right)\cong\frac{2\pi N_AR^3}{3}\left(1-\frac{u_0}{kT}\right)</math>
<math>\left(P+\frac{2\pi N_A^2R^3u_0}{3}\frac{1}{v^2}\ \right)\left(v-\frac{2\pi N_AR^3}{3}\right)=kT</math>
 
אם נסמן  <math>a\equiv\frac{2\pi N_AR^3u_0}{3}</math>, <math>b\equiv\frac{2\pi N_AR^3}{3}</math>, נקבל את משוואת המצב של גז ואן דר ואלס.
 
=== טבלת סיכום למודלים השונים ===
|-
|הפוטנציאל <math>\Phi\left(r_{12}\right)</math>
|<math display="block">\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
|<math display="block">\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} \infty\ \ \ \ \ \ \ 0<r_{12}<\sigma \\ -\varepsilon\ \ \ \ \ \sigma<r_{12}<R \\ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}>R \end{cases}</math>
|<math display="block">\Phi\left(r_{12}\right)=4\varepsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^{12}-\left(\frac{\sigma}{r_{12}}\right)^6\right]</math>
|<math display="block">\Phi\left(r_{12}\right)=\begin{cases} {-u}_0\left(\frac{R}{r_{12}}\right)^{-6}\ \ \ \ \ \ r_{12}>R \\ \infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r_{12}<R \end{cases}</math>
|-
|המקדם הויריאלי השני <math>B\left(T\right)</math>
 
== ראו גם ==
 
* [[גז אידיאלי]]
* [[גז ואן דר ואלס]]
 
<div style="direction: ltr;">
* Laurendeau‏Laurendeau, N. M., '''Statistical Thermodynamics Fundamentals and Applications'''. New York: Cambridge University Press, 2005
* Pathria, R. K., Beale, Paul D., '''Statistical Mechanics'''. 3rd ed. Amsterdam: Elsevier, 2011
* Reichl, L. E., '''A Modern Course in Statistical Physics'''. Weinheim, Germany: Wiley‐VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2016