סדרה (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

סדרות הן מרכיב יסודי בשפה של [[אנליזה מתמטית|האנליזה המתמטית]]. מושג ה[[סדרה מתכנסת|התכנסות]] של סדרה, המתאר את ההתנהגות של אבריה כאשר האינדקס גדל לאינסוף, מאפשר לתאר מושגים חשובים אחרים, כגון [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפות של פונקציות]] או תכונות של המרחב שממנו מגיעים אברי הסדרה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת [[אם ורק אם]] קיים לה [[גבול של סדרה|גבול]]. סדרה שאיבריה שייכים ל[[מרחב מטרי]] (כגון [[הישר הממשי]]) היא '''סדרה חסומה''' אם קיים [[מספר ממשי]] <math>R</math> כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה <math>x</math> אינו עולה על <math>R</math>. הסדרה היא [[סדרת קושי]] אם המרחק בין שני איברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים [[שאיפה לאינסוף|שואפים לאינסוף]].

סדרה שאבריה הם [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] נקראת '''סדרה ממשית'''. על סדרות כאלה אפשר להחיל את מושג המונוטוניות: סדרה היא '''עולה ממש''' אם לכל אינדקס <math>n</math> מתקיים <math>\!\, a_n<a_{n+1}</math>, ו'''עולה''' (או "לא יורדת") אם מתקיים <math>\!\, a_n\le a_{n+1}</math>. באותו אופן אומרים שהסדרה '''יורדת ממש''' אם מתקיים <math>\!\, a_n>a_{n+1}</math> ושהיא '''יורדת''' (או "לא עולה") אם מתקיים <math>a_n\ge a_{n+1}</math>. בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה '''מונוטונית'''. סדרה שהיא גם עולה וגם יורדת מוכרחה להיות '''סדרה קבועה''', כלומר סדרה שכל איבריה זהים. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת [[תת-סדרה]] מונוטונית.