|
=== תיאור קרטזי ===
כל פרבולה במישור הקרטזי אפשר לסובב כך שהציר שלה הוא ציר ''<math>y''</math>, ונקודת הקיצון היא הראשית. באופן זה, המוקד הוא נקודה <math>(0,p)</math>, והמדריך הוא הישר <math> y = -p</math>. פרבולה זו מתוארת ב[[קואורדינטות קרטזיות]] על ידי המשוואה <math> x^2 = 4py</math>.
הפרבולה ניתנת גם לתיאור פרמטרי, <math> x = 2pt, y = pt^2</math>.
המשיק לפרבולה מבוטא על ידי המשוואה (1) ויש לו השיפוע
:<math> \frac{dy \over dxmathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 a x = {2 y \over x} </math>
קו זה חוצה את ציר ''<math>y''</math> בנקודה <math>(0,-y)=(0-a\cdot x^2)</math>, ואת ציר ''x'' בנקודה <math>\left( \frac{x}{2},0\right)</math>. נקרא לנקודה זו ''<math>G''</math>. נקודההנקודה ''<math>G</math>'' היא גם נקודת האמצע בין ''<math>F''</math> ל-''<math>Q''</math>.
:<math> F = (0,f), \quad </math>
:<math> Q = (x,-f), \quad </math>
מכאן נובע כי:
<math> \angle FPG \cong \angle GPQ </math>.
את הישר ''<math>QP''</math> ניתן להאריך מעבר ל''P-''<math>P</math> לנקודה ''<math>T''</math> כלשהי, ואת הישר ''<math>GP''</math> ניתן להאריך מעבר ל''P-''<math>P</math> לנקודה ''<math>R''</math> כלשהי. לכן
<math> \angle RPT </math> ו-<math> \angle GPQ </math> הן זוויות קודקודיות, כלומר הן שוות. אולם <math> \angle GPQ </math> שווה ל <math> \angle FPG </math>. לכן <math> \angle RPT </math> שווה ל <math> \angle FPQ </math>.
הישר ''<math>RG''</math> משיק לפרבולה בנקודה ''<math>P''</math>, לכן כל אלומת אור המוחזרת מנקודה ''<math>P</math>'' תתנהג כאילו הקו ''<math>RG</math>'' הוא מראה, ולכן האלומה תשוקף על ידי מראה זו.
נניח כי אלומת אור נעה על הקו האנכי ''<math>TP''</math>, ומוחזרת מנקודה ''<math>P</math>''. זווית הנטייה של הקרן אור מהמראה היא <math> \angle RPT </math>, לכן כאשר הקרן מוחזרת, זווית ההחזרה חייבת להיות שווה <math> \angle RPT </math>. אולם הראינו כי <math> \angle FPG </math> שווה ל <math> \angle RPT </math>. לכן האלומה מוחזרת לאורך הישר ''FP'' היישר אל המוקד.
מסקנה: כל אלומת אור הנעה אנכית כלפי מטה בשקערורית של הפרבולה (במקביל לציר הסימטריה), תוחזר מהפרבולה היישר לכיוון המוקד. תכונה זו משמשת בבניית [[מחזיר-אור פרבולי]].
| 