הבדלים בין גרסאות בדף "הצגה ליניארית"

נוספו 5,220 בתים ,  לפני 12 שנים
קצרמר
(קצרמר)
ב[[תורת החבורות]], '''הצגה לינארית''' היא [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] G כחבורה של מטריצות, באמצעות [[הומומורפיזם]] מן החבורה G לחבורה של ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] של [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו. את '''תורת ההצגות''', העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח [[פרדיננד פרובניוס]] בסוף [[המאה ה-19]], והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.
ב[[מתמטיקה]], ובמיוחד ב[[תורת החבורות]], הצגה של [[חבורה]] G היא שלשה <math>\ (\pi,G,V)</math> כאשר G היא חבורה, V הוא [[מרחב וקטורי]] ו<math>\pi:G \mapsto GL(V)</math> היא [[הומומורפיזם]] של חבורות מG לחבורת ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] ההפיכות על V.
 
חבורה שיש לה '''הצגה נאמנה''' (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת [[חבורה לינארית]].
 
== שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות ==
 
באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)</math>, כאשר V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \mathoperator{GL}(V)</math> היא חבורת ההעתקות הליניאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \mathoperator{GL}_n(F)</math>, ואז n הוא '''ממד ההצגה'''.
 
מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על-ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.
 
כאשר נתונות שתי הצגות, על מרחבים V ו- W, אפשר ליצור מהן הצגה חדשה, על ה[[סכום ישר|סכום הישר]] <math>\ V \oplus W</math>, בדרך של בניית מטריצות בלוקים: <math>\ g \mapsto \begin{array}{cc} \pi_1(g) & 0 \\ 0 & \pi_2(g)\end{array}</math>. הצגה כזו, וכל הצגה שקולה לה, נקראת '''הצגה פריקה'''. הצגה שלא ניתן לפרק (על-ידי הצמדה) באופן כזה, נקראת '''הצגה אי-פריקה'''. כל ההצגות האי-פריקות של [[חבורה אבלית]] סופית הן חד-ממדיות.
 
במקרים רבים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה.
 
== הקרקטר של הצגה מממד סופי ==
 
אם <math>\ \pi : G \rightarrow \mathoperator{GL}_n(F)</math> היא הצגה ממימד סופי, אז הפונקציה <math>\ \chi(g) = \operatorname{tr}(\pi(g))</math> המוגדרת לפי חישוב ה[[עקבה (אלגברה לינארית)|עקבה]] של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא ה'''קרקטר''' של ההצגה. העקבה אינה משתנה בהצמדה, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה.
 
בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם ב[[חבורה קומפקטית]]), גם ההיפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות).
 
באופן דומה, אם g,h הם שני אברים צמודים בחבורה, דהיינו <math>\ h=xgx^{-1}</math> עבור איבר x מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה.
 
== הצגות של חבורה סופית ==
 
כל הצגה של חבורה סופית שקולה להצגה על מרחב מממד סופי. אם G היא חבורה סופית, ידוע שיש לה רק מספר סופי של הצגות ([[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] שקילות); מספר ההצגות שווה למספר [[מחלקת צמידות|מחלקות הצמידות]] של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת [[טבלת קרקטרים|טבלת הקרקטרים]] של החבורה.
 
== הצגות ואלגברת החבורה ==
 
יש התאמה חד-חד-ערכית בין הצגות של החבורה G על מרחבים וקטוריים מעל לשדה F, לבין [[הצגה (אלגברה)|הצגות]] של [[אלגברת חבורה|אלגברת החבורה]] <math>\ F[G]</math>, שהן הומומורפיזמים של אלגברות, מאלגברת החבורה לאלגברה <math>\ \operatorname{Hom}(V)</math> של העתקות ליניאריות של מרחב וקטורי V מעל השדה. כל הצגה כזו הופכת את V ל[[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל אלגברת החבורה (ולהיפך).
 
לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
 
 
[[קטגוריה:תורת החבורות]]
{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[en:Group representation]]