הבדלים בין גרסאות בדף "מספר אלגברי"

נוספו 3 בתים ,  לפני 4 חודשים
סידור
(סידור)
'''מספר אלגברי''' הוא [[מספר מרוכב]] המהווה [[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום]] בעל מקדמים [[מספר רציונלי|רציונליים]] (או [[מספר שלם|שלמים]], אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי <math>q</math> הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה <math>\ x-q=0</math>. מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא [[מספר טרנסצנדנטי]].
 
אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], הנקרא [[שדה המספרים האלגבריים]]. שדה זה [[שדה סגור אלגברית|סגור אלגברית]]: השורשים של פולינום בעל מקדמים אלגבריים הם בעצמם אלגבריים.
* <math>\sqrt{2}</math> הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום <math>\ x^2 - 2</math>.
* <math>i=\sqrt{-1}</math> הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום <math>\ x^2 + 1</math>.
* המספרים [[<math>e (קבוע מתמטי)|e]]</math>, [[פאי]]<math>\pi</math> ו- <math>\ e^{\pi}</math> אינם אלגבריים.
 
ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל ב[[גורם משותף]]. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג [[איבר אלגברי]] ב[[הרחבת שדות|הרחבה כללית של שדות]]; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של [[שדה המספרים המרוכבים]] מעל [[שדה המספרים הרציונליים]]. באופן צורף, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כ[[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברה]] מעל [[חוג המספרים השלמים]]: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.