ויקיפדיה

מספר מדומה – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ הגהה, עריכת נוסחאות
שורה 1:
'''מספר מדומה''' (או "'''מספר דמיוני'''" הפחות מקובל) הוא מספר ש[[ריבוע (חזקה)|ריבועו]] הוא [[מספר ממשי]] שלילי. כל מספר מדומה אפשר להציג כמכפלה <math>\ ib</math>, כאשר <math>\ b</math> הוא מספר ממשי, ו-<math>\ i</math> הוא "[[היחידה המדומה]]" (שהיא אחד משני ה[[שורש ריבועי|שורשים]], <math>\ i</math> ו-<math>-i</math> של מינוס אחת: <math>\ i^2=-1</math>).
 
כיוון שהריבוע של כל מספר ממשי הוא [[מספר חיובי|חיובי]] או אפס, למינוס אחת (שהוא מספר שלילי) אין שורש ממשי. על ידי 'המצאה' של מספר שאינו ממשי, <math>\ i</math>, ושילובו עם [[שדה המספרים הממשיים]], מתקבל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] [[הרחבת שדות|גדול יותר]], הנקרא "[[שדה המספרים המרוכבים]]". [[מספר מרוכב]] בנוי מחלק ממשי וחלק מדומה בצורה <math>\ a+ib</math> כאשר <math>\ a, b</math> מספרים ממשיים.
 
שדה המספרים המרוכבים [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[שורש של מספר|הוצאת שורש]] בכלל, ול[[הוצאת שורש ריבועי]] בפרט.
 
==היסטוריה==
כיוון שלמספר שלילי אין שורש ריבועי ב[[שדה המספרים הממשיים]], מתמטיקאים התייחסו אל [[משוואה]] כגון <math>\!\, x^2+1=0</math> כאל משוואה שאין לה פתרון. הצורך בהתייחסות שונה לשורש של מספר שלילי התעורר כאשר [[ג'ירולמו קרדאנו]] גילה, בתחילת [[המאה ה-16]], שהדרך לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]], גם כאשר פתרון זה הוא מספר ממשי, מובילה אותו לנוסחה שבה מופיעים שורשים של מספרים שליליים.
 
בעקבות קרדאנו הוגדרו המספרים המרוכבים במפורש, בשנת [[1572]], על ידי [[רפאל בומבלי]] (Rafael Bombelli). באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. [[רנה דקארט]], הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת [[1637]], התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". את האות <math>i</math> (בעקבות המילה imaginary), שהפכה לסימון המקובל במתמטיקה עבור היחידה המדומה, בחר [[לאונרד אוילר|אוילר]] ב-[[1777]]; מהנדסי חשמל מעדיפים לסמן מספר זה באות <math>j</math>, כדי לא להחליף בינו לבין [[זרם חשמלי|זרם]], המיוצג גם הוא באות <math>i</math>.
 
== מאפיינים אלגבריים ==
קבוצת המספרים המדומים, כלומר קבוצת כל המספרים מהצורה <math>\ ib</math> כאשר <math>\ b</math> הוא [[מספר ממשי]], [[סגירות (אלגברה)|סגורה]] תחת [[חיבור]]: <math>bi+b'i=(b+b')i</math> (כ[[חבורה אבלית|חבורה חיבורית]], הקבוצה [[איזומורפיזם|איזומורפית]] לקבוצת הממשיים), אך אינה סגורה תחת [[כפל]], משום שמכפלת שני מספרים מדומים היא מספר ממשי.
 
פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקת]] מספר מדומה היא תמיד ממשית: <math>\ i^{i a} = (e^{\frac{\pi i}{2}})^{ia} = e^{- \frac{ \pi a}{2}}</math>.
 
==ראו גם==
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/מספר_מדומה"