הבדלים בין גרסאות בדף "אלגברת הקווטרניונים של המילטון"

סידור
מ (הוספת קישור לכיוון השעון)
(סידור)
 
המילטון שאב השראה מההקבלה בין [[מספרים מרוכבים]] לבין נקודות על מישור דו-ממדי. ההקבלה מבוססת על כך שמספר מרוכב ניתן לכתוב בתור:
<math>c=x+yi=re^{i\theta}</math> ואותו ניתן לייחס לנקודה שהקורדינטות שלה הם (x,y). באופן דומה ניתן לתאר פעולות גאומטריות באמצעות פעולות אלגבריות על מספרים מרוכבים. לדוגמה סיבוב של נקודה c<math>x = x + iy</math> בזווית <math>\alpha</math> מתבצעת על ידי הכפלה:
<math>c'=ce^{i\alpha}=c(\cos(\alpha)+isini\sin(\alpha))</math>.
בהתבסס על הקבלה זאת חיפש המילטון הכללה של המספרים המרוכבים שתאפשר לתאר גאומטריה תלת-ממדית. חיפושיו של המילטון לנוסחא שתאפשר הכפלה של שלשות מספרים עלו בתוהו. ב-16 באוקטובר 1843, בעת טיול עם אשתו לאורך התעלה המלכותית בדבלין, בעת שהשניים עברו בסמוך ל[[גשר ברום]] (Brougham Bridge) מצא המילטון את הבסיס לנוסחת הכפל של רביעיות מספרים. התלהבותו של המילטון מהתגלית הייתה כה גדולה עד כי, במעשה שכונה מאוחר יותר 'אקט של ואנדליזם מתמטי' הוא חרט על הגשר את הנוסחא הבסיסית לכפל קווטרניונים:
<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>. המילטון כינה את המספרים שגילה בשם 'קווטרניונים' והקדיש למחקר וההפצה של הרעיון את שארית חייו. ספרו האחרון והארוך ביותר של המילטון 'יסודות הקווטרניונים' התפרסם לאחר מותו, ב-1863.
 
דרך נוספת להבין קווטרניונים היא להציג אותם כ[[זוג סדור]] של [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] ו[[וקטור (אלגברה)|וקטור]] תלת-ממדי: <math> \left( \alpha , \vec u \right) </math>. במקרה זה, פעולות החיבור והכפל הן:
: <math> \left( \alpha , \vec u \right) + \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha + \beta , \vec u + \vec v \right) </math>;<math>x=qy+r</math>
: <math> \left( \alpha , \vec u \right) \left( \beta , \vec v \right) = \left( \alpha\beta - \vec u \cdot \vec v , \alpha \vec v + \beta \vec u + \vec u \times \vec v \right) </math> - כפל גרסמן. מכאן רואים את הסיבה לאי-חילופיות הכפל בקווטרניונים - אי-חילופיות ה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]]. כמו כן מנוסחה זו נובעות הזהויות הבאות: <math> (a,0) (b,0) = (ab,0) ; (a,0)(0, \vec v) = (0, a\vec v) </math> והזהות <math> \left( 0, \vec u \right) \left( 0, \vec v \right) = \left( -\vec u \cdot \vec v, \vec u \times \vec v \right) </math>, שממנה נגזרו מאוחר יותר הגדרות ה[[מכפלה סקלרית|מכפלה הסקלרית]] וה[[מכפלה וקטורית|מכפלה הווקטורית]].
 
 
== קווטרניונים שלמים ==
אוסף הקווטרניונים מהצורה <math>\ a+bi+cj+dk</math> עבור <math>\ a,b,c,d \in \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר ליפשיץ''' ואילו האוסף הכולל את אלו יחד עם הקווטרניונים שבהם <math>\ a,b,c,d \in \frac{1}{2} + \mathbb{Z}</math> נקרא '''מסדר הורוויץ'''. מסדר הורוויץ מהווה [[מסדר מקסימלי]] יחיד (עד כדי הצמדה) באלגברת הקווטרניונים הרציונליים <math>\ \mathbb{Q}[i,j]</math>, ואפשר להיעזר בתכונות שלו כדי לקבל הוכחה קלה ל[[משפט ארבעת הריבועים של לגרנז']]. האחרון הוא אוקלידי (מימין ומשמאל) ביחס לפונקציית הנורמה. מסדר ליפשיץ הוא "כמעט אוקלידי": לכל <math>x,y</math> אפשר לחלק עם שארית x=qy+r כאשר <math>|r|<= \leq |y|</math>.
 
== אינווריאנטים מקומיים ==