משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

מ
אין תקציר עריכה
(ביטול גרסה: זה משנה את המשמעות (ומחליף טענה נכונה בלא נכונה).)
מאין תקציר עריכה
[[קובץ:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש-<math>f(c)=u</math>.]]
'''משפט ערך הביניים''' אומר כי כאשר [[פונקציה ממשית]] [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפה]] מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם.
 
המשפט מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, ו[[סיימון סטאבין]] אף הוכיח את קיום התכונה עבור [[פולינום|פולינומים]]. לפני ההגדרה הפורמלית של [[רציפות]], היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם [[ברנרד בולצנובולצאנו]] (בשנת [[1817]]) ו[[אוגוסטן לואי קושי]] (בשנת [[1821]]) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר רציפות באופן המוכר לנו כיום.
 
==ניסוח פורמלי==
 
תהי <math>f</math> [[פונקציה ממשית]] [[רציפות|רציפה]] ב[[קטע סגור]] <math>[a,b]</math>.
 
יהי <math>t</math> מספר ממשי בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math> (כלומר <math>f(a)\le t \le f(b)</math> או <math>f(b)\le t \le f(a)</math>).
 
אזי קיים <math>c \in [a,b]</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>.
===ניסוח נוסף===
 
קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם ל[[מרחב טופולוגי]] כללי ([[#תכונת ערך הביניים|ראו להלן]]): תהי <math>\ f:I\rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור <math> \ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math>. אז התמונה <math>\ f(I)</math> של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע.
 
==הוכחה==
נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] ש-<math>f(a)\le f(b)</math> (ההוכחה למקרה <math>f(b)\le f(a)</math> זהה). אנו רוצים למצוא מספר <math>\ c\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ f(c)=t</math> עבור <math>\ t\isin(f(a),f(b))</math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{x\isin[a,b]\mid f(x)\le t\right\}</math>. זוהי קבוצה לא ריקה (כי <math>\ a\isin A</math>) וחסומה (על ידי <math>b</math>), מכאן שיש לה [[חסם עליון]], על פי [[אקסיומת החסם העליון]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. נסמן חסם עליון זה <math>\ c</math>, וכעת נוכיח כי <math>\ f(c)=t</math>. לשם כך נפריך את שתי הטענות הבאות: <math>\ f(c)>t</math> ו-<math>\ f(c)<t</math>.
* נניח בשלילה כי <math>\ f(c)>t</math>, אז <math>\ f(c)-t>0</math>, ולכן, מרציפות <math>\ f</math> נובע שקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<f(c)-t</math>, כלומר <math>\ f(x)>f(c)-(f(c)-t)=t</math>. אבל מאחר ש-<math>\ c</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>, בכל סביבה שלו יש איבר מתוך <math>\ A</math>, ובפרט קיים <math>\ x\isin A</math> כך ש-<math>\ |x-c|<\delta</math>, אבל זו סתירה, כי מהגדרת <math>\ A</math> נובע ש-<math>\ f(x)\le t</math>.
 
* נניח בשלילה כי <math>\ f(c)<t</math>, אז <math>\ t-f(c)>0</math> ולכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)</math>, כלומר <math>\ f(x)<f(c)+(t-f(c))=t</math>. כלומר, מצאנו איבר <math>\ x>c</math> שעבורו <math>\ f(x)<t</math>, בסתירה להיות <math>\ c</math> חסם עליון.
 
 
==הטענה ההפוכה==
הטענה כי "אם לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>, אז f רציפה", אינה נכונה. [[דוגמה נגדית]] למשפט היא הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(1/x)</math> שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא [[פונקציית הבסיס-בסיס 13 של קונוויי]].
 
==תכונת ערך הביניים==
אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת [[הומיאומורפיזם]]. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.
 
מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים [[אם ורק אם]] הוא [[מרחב קשיר]] - מרחב שאינו איחוד זר של שתי [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]] לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות <math>A</math> ו-<math>B</math>, ואז הפונקציה
<math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x\in A \\
0 & \mbox{if } x \in B \end{matrix}\right.
</math>
f: \mathbb{Q} \to \ \mathbb{R},\quad
 
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x<\sqrt2 \\
0 & \mbox{if } x>\sqrt2\end{matrix}\right.
 
 
== ראו גם ==
 
* [[משפט דארבו]]