הבדלים בין גרסאות בדף "הצגה ליניארית"

נוספו 73 בתים ,  לפני 12 שנים
מ
קישורים
מ
מ (קישורים)
ב[[תורת החבורות]], '''הצגה לינארית''' היא [[הצגה (מתמטיקה)|הצגה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] Gנתונה כחבורה שלכחבורת מטריצות, באמצעות [[הומומורפיזם]] מן החבורה G לחבורה שללחבורת ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] של [[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו. את '''תורת ההצגות''', העוסקת בהצגות לינאריות, פיתח [[פרדיננד פרובניוס]] בסוף [[המאה ה-19]], והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה.
 
חבורה שיש לה '''הצגה נאמנה''' (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הלינאריות אינה מאבדת מידע) נקראת [[חבורה לינארית]].
== שקילות של הצגות והצגות אי-פריקות ==
 
באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם <math>\ G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math>, כאשר G היא החבורה הנתונה, V הוא מרחב וקטורי מעל שדה F, ו- <math>\ \operatorname{GL}(V)</math> היא חבורת ההעתקותה[[העתקה לינארית|העתקות הליניאריות]] ההפיכות של המרחב. כאשר V הוא מרחב מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] סופי n, אפשר לזהות חבורה זו עם [[חבורת המטריצות ההפיכות]] <math>\ \operatorname{GL}_n(F)</math>,. ואזבמקרה זה n הואנקרא '''ממד ההצגה'''.
 
מהצגה נתונה אפשר ליצור '''הצגות שקולות''', על-ידי הצמדה בהעתקה לינארית קבועה; דהיינו, אם <math>\ \pi : G \rightarrow \operatorname{GL}(V)</math> היא הומומורפיזם ו- A העקתה הפיכה, אז גם הפונקציה <math>\ g \mapsto A \pi(g) A^{-1}</math> היא הצגה, השקולה להצגה המקורית.
 
לפי [[משפט משקה]], אם G חבורה סופית שהסדר שלה זר ל[[מאפיין של שדה|מאפיין]] של F, אז אלגברת החבורה היא [[חוג פשוט למחצה|פשוטה למחצה]], והדבר מבטיח שכל הצגה של G תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות.
 
 
[[קטגוריה:תורת החבורות]]