אקספוננט קריטי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
כתיבה מחדש של הדף. ארחיב בהמשך את הדף. |
||
שורה 1:
{{לשכתב|סיבה=נוסח לא ברור|נושא=מדעי הטבע}}
'''אקספוננט קריטיים''' (או '''מעריכים קריטיים''') הם מספרים המאפיינים [[מעבר פאזה|מעברי פאזה]] מסדר שני (מעברי פאזה רציפים) במערכות [[תרמודינמיקה|תרמודינמיות]].
נהוג להניח כי אקספוננטים קריטיים הם אוניברסליים. כלומר, כי הם תלויים רק במאפיינים הכלליים של מערכת פיזקלית, ולא תלויים בפרטים שמתארים את המערכת. לדוגמא, עבור מעברי פאזה במערכות [[פרומגנטיות]], האקספוננטים הקריטיים תלויים רק במימדים של המערכת, בטווח של האינטראקציות בין חלקיקים במערכת [[ספין|ובספין]] של החלקיקים. נגיד כי שתי מערכות עם אותם מעריכים קריטיים שייכות לאותה [[מחלקת אוניברסליות]]. כלומר, כי המערכות שקולות ליד מעבר הפאזה.
תכונות אלו של אקספוננטים קריטיים נתמכות על ידי תוצאות ניסוניות. ניתן לחשב את האקספוננטים הקריטיים של מערכת באופן אנליטי באמצעות [[תורת שדה ממוצע|תורת השדה הממוצע]] או במקרים שבהם המערכת פתירה אנליטית, כגון [[מודל איזינג]] הדו-מימדי. ניתוח תיאורטי במקרים רבים דורש להשתמש בגישה של חבורת הנרמול מחדש (renormalization group) או בשיטות של conformal bootsrap.
== הגדרה פורמלית ==
הפרמטר הנשלט במעברי פאזה הוא לרוב [[טמפרטורה|הטמפרטורה]], אך הוא יכול להיות גם פרמטרים אחרים כגון [[שדה מגנטי]] חיצוני [[לחץ|ולחץ]]. לשם פשטות, נעבוד בדיון זה במונחי הטמפרטורה. ההמרה לפרמטר נשלט אחר הינה פשוטה. נניח כי מעבר הפאזה מתרחש בטמפרטורה קריטית <math>T_C</math>. אנחנו רוצים לתאר את הפרמטר הפיזיקלי <math>f</math> בסביבה של הטמרטורה הקריטית באמצעות חוק חזקה. נגדיר את נגדיר את הטמפרטורה המצומצמת <math display="block">\tau = \frac{T-T_C}{T_C}</math>שהינה אפס בטמפרטורה הקריטית. באמצעותה, נגדיר את האקספונט הקריטי <math>\kappa</math>:<math display="block">\kappa=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}</math>מכך אנו מקבלים את חוק החזקה שחיפשנו:<math display="block">f\left(\tau\right)\propto\left|\tau\right|^{\kappa},\quad \tau\approx 0</math>באופן כללי, האקספוננט הקריטי הוא לא בהכרח זהה עבור <math>\tau<0</math> ועבור <math>\tau>0</math>. במקרה זה, נגדיר את האקספוננטים הקריטיים באמצעות [[גבול של פונקציה|הגבולות החד-צדדיים]]:<math display="block">\kappa' = \lim_{\tau\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}
,\quad
\kappa = \lim_{\tau\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}</math>יש לזכור כי חוק החזקה מתאר רק את ההתנהגות האסימפטוטית של הגודל הפיזיקלי ליד מעבר הפאזה, ולא מתאר אותו כתלות כללית.
== אקספוננטים קריטיים חשובים ==
בהתאם לקונבנציה הסטנדרטית, נסמן את האקספוננטים הקריטיים עבור הפאזה המסודרת כ<math>\kappa</math>, ואת אלו עבור הפאזה הלא-מסודרת נסמן כ<math>\kappa'</math>. נגדיר מספר גדלים פיזיקליים:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!פרמטר פיזיקלי
!הסבר
|-
|<math>\Psi</math>
|פרמטר הסדר. לדוגמא, המגנטיזציה עבור [[טמפרטורת קירי|נקודת קירי]], ו<math>\frac{\rho-\rho_{C}}{\rho_{C}}</math> עבור מעבר בין נוזל לבין גז, כאשר <math>\rho</math> הצפיפות. פרמטר הסדר מתאפס עבור טמפרטורות הגבוהות מהטמפרטורה הקריטית.
|-
|<math>\tau</math>
|הפרמטר הנשלט (במקרה בו הפרמטר הנשלט הוא הטמפרטורה, הוא נתון על ידי <math>\frac{T-T_{C}}{T_{C}}</math>). הפרמטר מתאפס בנקודה הקריטית.
|-
|<math>f</math>
|[[אנרגיה חופשית]] סגולית. ייתכנו מעברי פאזה שבהם [[פוטנציאלים תרמודינמיים|הפוטנציאל התרמודינמי]] הרלוונטי לבעיה הוא פוטנציאל שאינו האנרגיה החופשית, כגון [[אנרגיה חופשית של גיבס|האנרגיה החופשית של גיבס]].
|-
|<math>C</math>
|[[קיבול חום|קיבול חום כמוס]]. קיבול החום הכמוס נתון על ידי <math>C=-T\frac{\partial^{2}f}{\partial T^{2}}</math>.
|-
|<math>J</math>
|כוח מניע או שדה חיצוני. לדוגמא, הגודל <math>\frac{P-P_{C}}{P_{C}}</math> עבור מעבר נוזל-גז, כש<math>P</math> הלחץ ו<math>P_{C}</math> הלחץ הקריטי ושדה מגנטי חיצוני עבור נקודת קירי.
|-
|<math>\chi</math>
|ההיענות של המערכת לכוח המניע. עבור מעבר [[פרואלקטריות|פרואלקטרי-פאראלקטרי]], זוהי [[סוספטיביליות חשמלית|הסוספטביליות החשמלית]]. מוגדר על ידי <math>\chi=\frac{d\Psi}{dJ}</math>.
|-
|<math>\xi</math>
|[[פונקציית קורלציה (מכניקה סטטיסטית)|אורך קורלציה]]. גודל זה מתאר את המרחק האופייני שבו ישנה [[מתאם|קורלציה]] בין המשתנים מיקרוסקופיים של המערכת.
|-
|<math>d</math>
|מספר [[ממד (מתמטיקה)|המימדים]] המרחביים של המערכת.
|-
|<math>\left\langle\psi\left(\vec{x}\right),\psi\left(\vec{y}\right)\right\rangle</math>
|[[פונקציית הקורלציה (מכניקה סטטיסטית)|פונקציית הקורלציה]]. פונקציית הקורלציה מתארת כיצד המצבים המיקרוסקופיים במיקומים שונים מתואמים. הגודל <math>\psi</math> מתאר את פונקציית הגל של המערכת.
|-
|<math>r</math>
|מרחק מרחבי.
|}
* האקספוננט הקריטי <math>\alpha</math> מתאר את הקשר בין קיבול החום הסגולי לבין הטמפרטורה. עבור <math>\tau<0</math>, <math>C\propto\tau^{-\alpha}</math> ועבור <math>\tau>0</math>, <math>C\propto\left(-\tau\right)^{-\alpha'}</math>. נשים לב כי במקרים רבים <math>\alpha</math> הוא חיובי, ולכן קיבול החום מתבדר בטמפרטורה הקריטית. התבדרות זו היא הסיבה לקיום של [[חום כמוס|החום כמוס]].
* האקספוננט הקריטי <math>\beta</math> מתאר את הקשר בין פרמטר הסדר לבין הטמפרטורה. בניגוד לשאר האקספוננטים הקריטיים, פרמטר הסדר מתאפס זהותית מעל הטמפרטורה הקריטית. לכן, עבור <math>\tau<0</math>, פרמטר הסדר נתון על ידי <math>\Psi\propto\left(-\tau\right)^{\beta}</math>, ועבור <math>\tau\geq0</math>, <math>\Psi\equiv0</math>. בניגוד לרוב האקספוננטים הקריטיים, אנו מניחים כי <math>\beta</math> חיובי על מנת שפרמטר הסדר יהיה רציף.
* האקספוננט הקריטי <math>\gamma</math> מתאר את הקשר בין ההיענות של המערכת לכוח המניע לבין הטמפרטורה. עבור <math>\tau<0</math>, <math>\chi\propto\tau^{-\gamma}</math> ועבור <math>\tau>0</math>, <math>\chi\propto\left(-\tau\right)^{-\gamma'}</math>.
* האקספוננט הקריטי <math>\delta</math> מקשר בין הכוח המניע לבין פרמטר הסדר בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור <math>\tau=0</math> מתקיים <math>J\propto\Psi^{\delta}</math>.
* האקספוננט הקריטי <math>\nu</math> מקשר בין אורך הקורלציה לבין הטמפרטורה. עבור <math>\tau<0</math>, <math>\xi\propto\tau^{-\nu}</math> ועבור <math>\tau>0</math>, <math>\xi\propto\left(-\tau\right)^{-\nu'}</math>.
* האקספוננט הקריטי <math>\eta</math> מקשר בין פונקציית הקורלציה לבין המרחק המרחבי בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור <math>\tau=0</math> מתקיים <math>\left\langle\psi\left(\vec{0}\right),\psi\left(\vec{r}\right)\right\rangle\propto r^{-d+2-\eta}</math>.
== אקספוננטים קריטיים בתורת השדה הממוצע ==
ערכי האקספוננטים הקריטיים ב[[תורת לנדאו]] הקלאסית (שידועה גם [[תורת שדה ממוצע|כתורת השדה הממוצע]]) עם שדה סקלרי נתונים על ידי:<math display="block">\alpha = 0,\quad \beta =\frac{1}{2},\quad\gamma=1,\quad \delta =3</math>אם אנו מוסיפים איברי גזירה והופכים את התיאוריה ל[[תורת גינזבורג-לנדאו]], מתקבלים גם כן:<math display="block">\nu=\frac{1}{2},\quad\eta=0</math>
=== מימד קריטי עליון של תורת שדה ממוצע ===
האקספוננטים הקריטיים שמתקבלים באמצעות תורת השדה הממוצע נכונים עבור מימד שגדול [[מימד קריטי|מהמימד הקריטי העליון]] של מערכת. המימד הקריטי העליון עבור מעבר גז-נוזל הוא 4, עבור חלחול הוא 6, ועבור טורבלנטיות הוא ככל הנראה אינסופי<ref>{{צ-ספר|שם=Fractals and Disordered Systems|קישור=https://doi.org/10.1007/978-3-642-84868-1_2|מו"ל=Springer|שנת הוצאה=1996|מקום הוצאה=Berlin, Heidelberg|ISBN=978-3-642-84868-1|עמ=59–114|מחבר=Armin Bunde, Shlomo Havlin|שפה=en}}</ref>. קרטיריון למציאת המימד הקריטי העליון של מערכת נוסחו בידי [[ויטאלי גינזבורג]].
== אקספוננטים קריטיים במודל איזינג ==
מודל איזינג הוא [[מודל מתמטי]] ב[[מכניקה סטטיסטית]], המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות ב[[סריג (גאומטריה)|סריג]] ומבצעות [[אינטראקציית שכנים קרובים]]. מעבר הפאזה הפרומגנטי של מודל איזינג מגדיר חבורת אוניברסליות חשובה המכילה מגוון של מעברי פאזה. מודל איזינג הדו-מימדי פתיר באופן אנליטי, והאקספוננטים הקריטיים עבורו נתונים על ידי:<ref>{{צ-מאמר|שם=Rigorous Inequalities for Critical-Point Correlation Exponents|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.180.594|כתב עת=Physical Review|שנת הוצאה=1969-04-10|עמ=594–600|כרך=180|doi=10.1103/PhysRev.180.594|מחבר=Michael E. Fisher}}</ref><math display="block">\alpha=0,\quad\beta=\frac{1}{8},\quad\gamma=\frac{7}{4},\quad\delta=15,\quad\nu=1,\quad\eta=\frac{1}{4}</math>בשלושה מימדים, מודל איזינג אינו פתיר באופן אנליטי. ניתן להעריך את הערכים של האקספוננטים הקריטיים בו באמצעות שיטות נומרית. האקספוננטים הקריטיים עבור מודל זה נתונים על ידי:<ref>{{צ-מאמר|שם=25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.65.066127|כתב עת=Physical Review E|שנת הוצאה=2002-06-27|עמ=066127|כרך=65|doi=10.1103/PhysRevE.65.066127|מחבר=Massimo Campostrini, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, Ettore Vicari}}</ref><math display="block">\alpha=0,\quad\beta=0.32653(10),\quad\gamma=1.2373(2),\quad\delta=4.7893(8),\quad\nu=0.63012(16),\quad\nu=0.03639(15)</math>המימד הקריטי העליון של מודל איזינג הוא 4, ולכן עבור מימדים יותר גבוהים האקספוננטים הקריטיים של מודל איזינג מזדהים עם האקספוננטים של תורת השדה הממוצע.
<references />
{{נושאים במכניקה סטטיסטית}}
{{קצרמר|פיזיקה}}
|