משפט פוביני – הבדלי גרסאות

נוספו 298 בתים ,  לפני שנה
סידור
מ (←‏הוכחה: תקלדה)
(סידור)
 
'''משפט פוביני''' (נקרא לעיתים: '''משפט פוביני־טונלי''') מספק נוסחה לחישוב של [[אינטגרל רב-ממדי]] של פונקציות, תחת תנאים מסוימים. את המשפט הוכיח [[גווידו פוביני]] בשנת [[1907]] עבור [[פונקציה אינטגרבילית|פונקציות אינטגרביליות]], והוא הוכח גם בידי [[לאונידה טונלי]] בשנת [[1909]] עבור פונקציות אי-שליליות.{{הערה|שני המקרים שקולים זה לזה, שכן כל פונקציה <math>f</math> ניתן לפרק ולהציג כהפרש של שתי פונקציות אי-שליליות מהצורה <math>f=f^{+}-f^{-}</math>, עבור <small><math>f^{+}=\max \{f,0\} , f^{-}=-\min \{f,0\} </math></small>.}}
 
הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות [[אינטגרל רימן|אינטגרביליות רימן]] מהצורה <math>f: \colon \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}</math>, אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות [[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] מהצורה <math>f: \colon X \times Y \to \mathbb{C}</math>, כאשר <math>X,Y</math> [[מרחב מידה|מרחבי מידה]] [[מידה סיגמא סופית|סיגמא סופיים]].
 
==נוסח פורמלי==
===לפונקציות ממשיות אינטגרביליות רימן===
 
תהי <math>f: \colon A \times B \to \mathbb{R}</math> פונקציה אינטגרבילית רימן, כאשר <math>A,B \subset \mathbb{R}</math> [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]].
 
לכל <math>x \in A</math> נגדיר פונקציה <math>f_{x}:B \to \mathbb{R}</math> על ידי <math>f_{x}(y)=f(x,y)</math> (פונקציה של המשתנה השני).
אזי אם <math>f_{x}</math> אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
<center>
<math> \int_{A \times B} f(x,y) \,\mathrm{d}(x,y)=\int_{A} \left( \int_{B} f_{x}(y)dy \,\mathrm{d}y \right)dx \mathrm{d}x</math>
</center>
 
באופן סימטרי, לכל <math>y \in B</math> ניתן להגדיר פונקציה <math>f_{y}: \colon A \to \mathbb{R}</math> מתאימה, ואז אם היא אינטגרבילית רימן, מתקיים השוויון:
<center>
<math> \int_{A \times B} f(x,y) \,\mathrm{d}(x,y)=\int_{B} \left( \int_{A} f_{y}(x)dx \,\mathrm{d}x \right)dy \mathrm{d}y</math>
</center>
 
יהיו <math> \left(X,\mathcal{M},\mu \right), \left(Y,\mathcal{N},\nu \right)</math> זוג [[מרחב מידה|מרחבי מידה]] [[מידה סיגמא-סופית|סיגמא־סופיים]].
 
תהי <math>f: \colon X \times Y \to \mathbb{C}</math> פונקציה אינטגרבילית לבג ביחס למרחב המכפלה <math>\left( X \times Y, \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}, \mu \times \nu \right)</math>.
 
לכל <math>x \in X</math> נגדיר פונקציה <math>f_{x}: \colon Y \to \mathbb{C}</math> על ידי <math>f_{x}(y)=f(x,y)</math>.
 
אזי <math>f_{x}</math> אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
<center>
<math> \int_{X \times Y} fdf \,\mathrm{d}\left( \mu \times \nu \right)=\int_{X} \left( \int_{Y} f_{x} \,\mathrm{d}\nu \right) \mathrm{d}\mu</math>
</center>
 
באופן סימטרי, לכל <math>y \in Y</math> ניתן גם להגדיר פונקציה <math>f_{y}: \colon X\to \mathbb{C}</math> מתאימה, גם היא אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:
<center>
<math> \int_{X \times Y} fdf \,\mathrm{d}\left(\mu \times \nu \right)=\int_{Y} \left( \int_{X} f_{y} \,\mathrm{d}\mu \right) \mathrm{d}\nu</math>
</center>
 
סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:
<center>
<math>\int_{x=0}^1\left(\int_{y=0}^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,\text{d}y\right)\,\text{d}x=\frac{\pi}{4}</math>
</center>
ומצד שני:
ההוכחה הנפוצה למשפט עושה שימוש ב[[משפט המחלקה המונוטונית]]. מבנה ההוכחה הוא כדלהלן: (1) תחילה מוכיחים את המשפט עבור פונקציות מדידות מסוג מסוים במרחבי מידה סופיים, (2) מכלילים את המשפט למרחבים סיגמא-סופיים, (3) מכלילים את המשפט לפונקציות מדידות כלליות.
 
* נניח כי שני המרחבים הם מרחבי מידה סופיים. בהינתן קבוצה <math>E \in \mathcal{M} \times \mathcal{N}</math>, לכל <math>y \in Y</math> נגדיר <math>E^y = \left\{ x \in X |\mid (x,y) \in E \right\}</math>. נגדיר פונקציה <math>f: \colon Y \to [0,\infty)</math> על ידי <math>f(y) = \mu(E^y)</math>. תהי <math>\mathcal{A}</math> האלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות <math>A \times B</math> עבור <math>A \in \mathcal{M}, B \in \mathcal{N}</math>, ויהי <math>\mathcal{C}</math> אוסף כל הקבוצות המדידות שעבורן מתקיים המשפט. נראה כי <math>\mathcal{C}</math> היא [[מחלקה מונוטונית]] וכי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math>, ומ[[משפט המחלקה המונוטונית]] נוכל להסיק כי <math>\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} = \sigma(\mathcal{A}) \subset \mathcal{C}</math>, כנדרש.
 
בהינתן <math>A \times B \in \mathcal{A}</math>, מתקיים כי <math>f(y) = \mu(E^y) = 1_B(y) \cdot \mu(A)</math> ולכן ניתן להסיק מיד כי <math>f</math> פונקציה מדידה. אם כך נובע כי:
<center>
<math display="block">\int_Yf(y) \,\mathrm{d}\nu = \int_Y1_B(y) \mu(A) \,\mathrm{d}\nu = \mu(A)\nu(B)=\mu \times \nu (A \times B)</math>
</center>
כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה. מכאן כי <math>\mathcal{A} \subset \mathcal{C}</math>.{{ש}}כדי להראות כי <math>\mathcal{C}</math> היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]].
 
כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג <math>X = \bigcup_{i=1}^{\infty}X_i , Y = \bigcup_{i=1}^{\infty}Y_i</math> כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות. בהינתן <math>E</math> מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים <math display="block">\mu \times \nu (E \cap(X_i \times Y_i)) = \int\nu(E^y \cap X_i) \cdot 1_{Y_i}d\nu</math>ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר <math>i \to \infty</math> מתקיים <math>\mu \times \nu (E) = \int_Y \mu(E^y)d\nu</math>.
 
 
כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט. תהי <math>f:X \times Y \to \mathbb{C}</math> פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה. נניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>f</math> פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות). נדון תחילה ב[[פונקציה מציינת|פונקציות מציינות]] מהצורה <math>f=1_E</math> עבור קבוצה מדידה <math>E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}</math>, אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:
כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג <math>X = \bigcup_{i=1}^{\infty}X_i , Y = \bigcup_{i=1}^{\infty}Y_i</math> כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות. בהינתן <math>E</math> מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים <math display="block">\mu \times \nu (E \cap(X_i \times Y_i)) = \int\nu(E^y \cap X_i) \cdot 1_{Y_i} \,\mathrm{d}\nu</math>ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר <math>i \to \infty</math> מתקיים <math>\mu \times \nu (E) = \int_Y \mu(E^y) \,\mathrm{d}\nu</math>.
 
כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט. תהי <math>f: \colon X \times Y \to \mathbb{C}</math> פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה. נניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>f</math> פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות). נדון תחילה ב[[פונקציה מציינת|פונקציות מציינות]] מהצורה <math>f=1_E</math> עבור קבוצה מדידה <math>E \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}</math>, אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:
<center>
<math display="block">\int_{X \times Y}1_Ed1_E \,\mathrm{d}(\mu \times \nu) = \mu \times \nu (E) = \int_Y\nu(E^y) \,\mathrm{d}\nu = \int_Y \left( \int_X \mu(E^y) \,\mathrm{d}\nu \right) = \int_Y \left( \int_X f^ydy \,\mathrm{d}\nu \right) </math>
</center>
[[פונקציה פשוטה|פונקציות פשוטות]] הן צירוף ליניארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מליניאריות אינטגרל לבג. כעת, תוך שימוש ב[[משפט ההתכנסות המונוטונית]] ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.
5,139

עריכות