אקספוננט קריטי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
נוסף חלק על יחסי סקיילינג. כנראה אוסיף עוד בהמשך. |
||
שורה 7:
== הגדרה פורמלית ==
הפרמטר הנשלט במעברי פאזה הוא לרוב [[טמפרטורה|הטמפרטורה]], אך הוא יכול להיות גם פרמטרים אחרים כגון [[שדה מגנטי]] חיצוני [[לחץ|ולחץ]]. לשם פשטות, נעבוד בדיון זה במונחי הטמפרטורה. ההמרה לפרמטר נשלט אחר הינה פשוטה. נניח כי מעבר הפאזה מתרחש בטמפרטורה קריטית <math>T_C</math>. אנחנו רוצים לתאר את הפרמטר הפיזיקלי <math>f</math> בסביבה של הטמרטורה הקריטית באמצעות חוק חזקה. נגדיר את נגדיר את הטמפרטורה המצומצמת <math display="block">\tau = \frac{T-T_C}{T_C}</math>שהינה אפס בטמפרטורה הקריטית. באמצעותה, נגדיר את האקספונט הקריטי <math>\kappa</math>:<math display="block">\kappa=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}</math>מכך אנו מקבלים את חוק החזקה שחיפשנו:<math display="block">f\left(\tau\right)\propto\left|\tau\right|^{\kappa},\quad \tau\approx 0</math>באופן כללי, האקספוננט הקריטי הוא לא בהכרח זהה עבור <math>\tau<0</math> ועבור <math>\tau>0</math>.<ref>{{צ-מאמר|שם=Critical exponents can be different on the two sides of a transition: A generic mechanism|קישור=http://arxiv.org/abs/1508.07852|כתב עת=Physical Review Letters|שנת הוצאה=2015-11-10|עמ=200601|כרך=115|doi=10.1103/PhysRevLett.115.200601|מחבר=Frédéric Léonard, Bertrand Delamotte}}</ref> במקרה זה, נגדיר את האקספוננטים הקריטיים באמצעות [[גבול של פונקציה|הגבולות החד-צדדיים]]:<math display="block">\kappa' = \lim_{\tau\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}
,\quad
\kappa = \lim_{\tau\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}</math>יש לזכור כי חוק החזקה מתאר רק את ההתנהגות האסימפטוטית של הגודל הפיזיקלי ליד מעבר הפאזה, ולא מתאר אותו כתלות כללית.
שורה 64:
== אקספוננטים קריטיים במודל איזינג ==
מודל איזינג הוא [[מודל מתמטי]] ב[[מכניקה סטטיסטית]], המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות ב[[סריג (גאומטריה)|סריג]] ומבצעות [[אינטראקציית שכנים קרובים]]. מעבר הפאזה הפרומגנטי של מודל איזינג מגדיר חבורת אוניברסליות חשובה המכילה מגוון של מעברי פאזה. מודל איזינג הדו-מימדי פתיר באופן אנליטי, והאקספוננטים הקריטיים עבורו נתונים על ידי:<ref>{{צ-מאמר|שם=Rigorous Inequalities for Critical-Point Correlation Exponents|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.180.594|כתב עת=Physical Review|שנת הוצאה=1969-04-10|עמ=594–600|כרך=180|doi=10.1103/PhysRev.180.594|מחבר=Michael E. Fisher}}</ref><math display="block">\alpha=0,\quad\beta=\frac{1}{8},\quad\gamma=\frac{7}{4},\quad\delta=15,\quad\nu=1,\quad\eta=\frac{1}{4}</math>בשלושה מימדים, מודל איזינג אינו פתיר באופן אנליטי. ניתן להעריך את הערכים של האקספוננטים הקריטיים בו באמצעות שיטות נומרית. האקספוננטים הקריטיים עבור מודל זה נתונים על ידי:<ref>{{צ-מאמר|שם=25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.65.066127|כתב עת=Physical Review E|שנת הוצאה=2002-06-27|עמ=066127|כרך=65|doi=10.1103/PhysRevE.65.066127|מחבר=Massimo Campostrini, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, Ettore Vicari}}</ref><math display="block">\alpha=0,\quad\beta=0.32653(10),\quad\gamma=1.2373(2),\quad\delta=4.7893(8),\quad\nu=0.63012(16),\quad\nu=0.03639(15)</math>המימד הקריטי העליון של מודל איזינג הוא 4, ולכן עבור מימדים יותר גבוהים האקספוננטים הקריטיים של מודל איזינג מזדהים עם האקספוננטים של תורת השדה הממוצע.
== יחסי סקיילינג (Scaling Relations) ==
חוקי סקיילינג הם ביטוי של עקרונות פיזיקליים באמצעות שפה של [[פונקציה הומוגנית|פונקציות הומוגוניות]]<ref name=":0">{{צ-מאמר|שם=Scaling laws|קישור=http://www.scholarpedia.org/article/Scaling_laws|כתב עת=Scholarpedia|שנת הוצאה=2009-10-20|עמ=9054|כרך=4|doi=10.4249/scholarpedia.9054|מחבר=Benjamin Widom}}</ref>. דוגמא חשובה לחוקי סקיילינג [[תרמודינמיקה|בתרמודינמיקה]] הם [[גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים]]. אם מגדילים מערכת תרמודינמית בפקטור <math>\lambda</math> בלי לשנות את הגדלים האינטנסיביים שלה, אז כל הגדלים האקסטנסיביים, כגון [[אנרגיה פנימית|האנרגיה]] <math>E</math>, [[אנטרופיה|האנטרופיה]] <math>S</math>, [[נפח|הנפח]] <math>V</math> ומספר החלקיקים <math>N</math> גדלים בפקטור <math>\lambda</math>. כלומר, הפונקציה <math>S\left(E,V,N,\dots\right)</math> היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון. זהו חוק סקיילינג.
קרוב מספיק לנקודה הקריטית, אנו יכולים להגדיר משתנים תרמודינמיים חדשים המאפיינים את המערכת והינם איווריאנטיים לשינוי בסקאלה. את משתנים אלו ניתן להגדיר באמצעות האקספוננטים הקריטיים המגדירים חוקי חזקה בין המשתנים התרמודינמיים השונים. אלו הם למעשה חוקי סקיילינג. באמצעות חוקי הסקיילינג, ניתן למצוא קשרים בין האקספוננטים הקריטיים השונים.
=== יחסי סקיילינג (Scaling Relations) ===
האקספוננטים השונים מצייתים ל[[יחסי סקיילינג]]. יחסי הסקיילינג מגדירים תלות פרמטרית בין האקספוננטים השונים. יחסי הסקיילינג הינם:<ref>{{צ-מאמר|שם=Degree of the Critical Isotherm|קישור=https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1726135|כתב עת=The Journal of Chemical Physics|שנת הוצאה=1964-09-15|עמ=1633–1634|כרך=41|doi=10.1063/1.1726135|מחבר=B. Widom}}</ref><ref>{{צ-מאמר|שם=Padé Approximant Studies of the Lattice Gas and Ising Ferromagnet below the Critical Point|קישור=https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1733766|כתב עת=The Journal of Chemical Physics|שנת הוצאה=1963-02-15|עמ=802–812|כרך=38|doi=10.1063/1.1733766|מחבר=John W. Essam, Michael E. Fisher}}</ref><ref>{{צ-מאמר|שם=Correlation Functions and the Critical Region of Simple Fluids|קישור=https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1704197|כתב עת=Journal of Mathematical Physics|שנת הוצאה=1964-07-01|עמ=944–962|כרך=5|doi=10.1063/1.1704197|מחבר=Michael E. Fisher}}</ref><ref>{{צ-מאמר|שם=Surface Tension and Molecular Correlations near the Critical Point|קישור=https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.1696617|כתב עת=The Journal of Chemical Physics|שנת הוצאה=1965-12-01|עמ=3892–3897|כרך=43|doi=10.1063/1.1696617|מחבר=B. Widom}}</ref><ref>{{צ-מאמר|שם=Critical behaviour of boundary susceptibility and boundary tension|קישור=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0022-3719/1/1/131/meta|כתב עת=Journal of Physics C: Solid State Physics|שנת הוצאה=1968-02-01|כרך=1|doi=10.1088/0022-3719/1/1/131/meta|מחבר=P G Watson}}</ref><ref>{{צ-מאמר|שם=Extension of the Ornstein-Zernike Theory of the Critical Region|קישור=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.20.533|כתב עת=Physical Review Letters|שנת הוצאה=1968-03-11|עמ=533–536|כרך=20|doi=10.1103/PhysRevLett.20.533|מחבר=G. Stell}}</ref>
<math display="block">\begin{matrix}
\gamma=\beta\left(\delta-1\right) \\
\alpha+2\beta+\gamma=2 \\
\left(2-\eta\right)\nu=\gamma \\
\nu-\eta=2-\alpha=\gamma+2\beta \\
d\nu=2-\alpha=\gamma+2\beta \\
2-\eta=d\frac{\delta-1}{\delta+1}
\end{matrix}</math>ניתן לראות מיחסים אלו כי ניתן לבטא את כל האקספוננטים הקריטיים באמצעות שני אקספוננטים קריטיים בלתי-תלויים.
=== פיתוח יחסי הסקיילינג ===
לצורך הדיון, נפתח יחס סקיילינג יחיד עבור המקרה של נקודת קירי. ניתן לפתח את את יחסי הסקיילינג האחרים באמצעות עקרונות דומים.
לצורך הדיון, נתבונן על ההתנהגות הקריטית בנקודת קירי. עבור מעברי פאזה אחרים, הפיתוח הינו דומה. ליד נקודת קירי, השדה המגנטי <math>H</math> נתון על כפונקציה של המגנטיזציה <math>M</math> והטמפרטורה המצומצמת <math>\tau</math> על ידי הקשר<ref name=":0" /><math display="block">H=M\left|M\right|^{\delta-1}j\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right)</math>כאשר <math>j\left(x\right)</math> היא פונקציה הומוגנית. עבור <math>\tau<0</math> ו<math>H=0</math>, נקבל מהמשוואה את הקשר <math>M\propto\left(-\tau\right)^{\beta}</math>. בנוסף, עבור <math>\tau=0</math> נקבל את הקשר <math>H\propto\left|M\right|^{\delta}</math>. מכאן נזהה את <math>\beta</math> ו<math>\delta</math> כאקספוננטים הקריטיים שהגדרנו.
הסוספטביליות מוגדרת על ידי <math>\chi=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{\tau}</math>. מאחר ו<math>M</math> ו<math>H</math> הן [[פונקציית מצב|פונקציות מצב]], ניתן לרשום<math display="block">\chi^{-1}=\left(\frac{\partial H}{\partial M}\right)_{\tau}=
\delta M\left|M\right|^{\delta-2}j\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right)
+M\left|M\right|^{\delta-1}\left|\tau\right|^{-\beta}j'\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right)</math>אם נדרוש כי <math>H=0</math>, וניזכר כי <math>M\propto\left(-\tau\right)^{\beta}</math>, נקבל מהמשוואה לעיל כי <math>\chi\propto \left|\tau\right|^{-\beta\left(\delta-1\right)}</math>. לפי הגדרת האקספוננט הקריטי <math>\gamma</math>, <math>\chi\propto\left|\tau\right|^{-\gamma}</math>. מכך נובע יחס הסקיילינג <math>\gamma=\beta\left(\delta-1\right)</math>.
== הערות שוליים ==
| |||